Calcule a integral.

∫ 0 1 1 + x 8 d x

Passo 1

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

∫ 1 + x 8 d x

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos uma expressão elevada a oitava potência, podemos tentar fazer com que u seja essa expressão, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = 1 + x → x = u - 1 → x = u - 1 2

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d x =   2 u - 1 d u

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 + x 8 d x = ∫ u 8 ∙ 2 u - 1 d u = ∫ 2 u 9 - 2 u 8 d u = ∫ 2 u 9 d u + ∫ - 2 u 8 d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Então ficamos com:

∫ 2 u 9 - 2 u 8 d u = ∫ 2 u 9 d u + ∫ - 2 u 8 d u = 2 ∫ u 9 d u - 2 ∫ u 8 d u = 2 ∙ u 9 + 1 9 + 1 - 2 ∙ u 8 + 1 8 + 1 + C = 2 u 10 10 - 2 u 9 9 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = 1 + x :

∫ 2 u 9 - 2 u 8 d u = 2 u 10 10 - 2 u 9 9 + C = 2 1 + x 10 10 - 2 1 + x 9 9 + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

∫ 0 1 1 + x 8 d x = 2 1 + x 10 10 0 1 - 2 1 + x 9 9 0 1 = 2 1 + 1 10 10 - 2 1 + 0 10 10 - 2 1 + 1 9 9 - 2 1 + 0 9 9 = 2048 10 - 2 10 - 1024 9 - 2 9 = 2046 10 - 1022 9 = 4097 45

Resposta

∫ 0 1 1 + x 8 d x = 4097 45

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