Enunciado

Calcule a integral.

int_0^1 (1 + sqrt(x))^8 d x

Passo 1

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

int (1 + sqrt(x))^8 d x

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos uma expressão elevada a oitava potência, podemos tentar fazer com que u seja essa expressão, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = 1 + sqrt(x) -> sqrt(x) = u - 1 -> x = (u - 1)^2

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d x = 2 (u - 1) d u

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1 + sqrt(x))^8 d x = int u^8 * 2 (u - 1) d u = int 2 u^9 - 2 u^8 d u = int 2 u^9 d u + int - 2 u^8 d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Então ficamos com:

int 2 u^9 - 2 u^8 d u = int 2 u^9 d u + int - 2 u^8 d u = 2 int u^9 d u - 2 int u^8 d u = 2 * ((u^(9 + 1))/(9 + 1)) - 2 * ((u^(8 + 1))/(8 + 1)) + C = (2 u^(10))/(10) - (2 u^9)/(9) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = 1 + sqrt(x) :

int 2 u^9 - 2 u^8 d u = (2 u^(10))/(10) - (2 u^9)/(9) + C = (2 (1 + sqrt(x))^(10))/(10) - (2 (1 + sqrt(x))^9)/(9) + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Vamos lá:

int_0^1 (1 + sqrt(x))^8 d x = ((2 (1 + sqrt(x))^(10))/(10))_0^1 - ((2 (1 + sqrt(x))^9)/(9))_0^1 = (2 (1 + sqrt(1))^(10))/(10) - (2 (1 + sqrt(0))^(10))/(10) - ((2 (1 + sqrt(1))^9)/(9) - (2 (1 + sqrt(0))^9)/(9)) = (2048)/(10) - (2)/(10) - ((1024)/(9) - (2)/(9)) = (2046)/(10) - (1022)/(9) = (4097)/(45)

Resposta

int_0^1 (1 + sqrt(x))^8 d x = (4097)/(45)

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