1. Calcule

c ) ∫ x 2 e x d x

Passo 1

Faremos uso da regra de integração por partes dada por ∫ u   d v = u v -   ∫ v d u . Além disso, podemos fazer uso da regrinha LIATE (Logarítmicas, Inversas de Trigonométricas, Algébrica, Trigonométrica e Exponencial) para saber quem será o u , o qual vai ser escolhido nessa ordem. No nosso caso, o u será a algébrica. Logo, faremos

u = x 2 ⟹ d u = 2 x   d x

d v = e x d x   ⟹ v = e x  

Passo 2

Substituindo na regra da integração por partes

∫ u   d v = u v -   ∫ v d u

∫ x 2 e x d x = x 2 e x -   ∫ e x 2 x   d x = x 2 e x - 2 ∫ x e x d x

Passo 3

Podemos ver que será necessário fazer integração por partes novamente. Novamente, pela regrinha LIATE, o u será a função algébrica.

2 ∫ x e x d x = 2 x e x - ∫ e x d x = 2 x e x - e x + k = 2 x e x - 2 e x + k

Passo 4

Substituindo o valor que calculamos na segunda integração por partes, temos

∫ x 2 e x d x =   x 2 e x - 2 x e x - 2 e x + k = x 2 e x - 2 x e x + 2 e x + k =   e x x 2 - 2 x + 2 + k

Resposta

Logo,

∫ x 2 e x d x =   e x x 2 - 2 x + 2 + k

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados