Calcule

i )   ∫ ln ⁡ x 2 d x

Passo 1

Nesse caso vamos usar a integração por partes, sendo que o objetivo da integração por partes é usar uma integral do tipo:

Se temos duas funções u x   e   v x podemos dizer que:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

No nosso caso é mais fácil usar o d x = d v já que achar uma primitiva de x d x é mais fácil do que achar uma primitiva de ln 2 ⁡ x

Assim:

d v = d x → v = x

d ln ⁡ x 2 d x = 2 ln ⁡ x x → d u = 2 ln ⁡ x x d x

∫ ln ⁡ x 2 = ln ⁡ x 2 x - ∫ x × 2 ln ⁡ x x d x = ln ⁡ x 2 x - 2 ∫ ln ⁡ x d x

∫ ln ⁡ x 2 = ln ⁡ x 2 x - 2 ∫ ln ⁡ x d x

Passo 2

Agora vamos integrar:

∫ ln ⁡ x 2 = ln ⁡ x 2 x - 2 ∫ ln ⁡ x d x

Pelo que dá pra ver temos outra integral que pode ser resolvida por partes:

∫ ln ⁡ x d x

Novamente, é mais fácil de resolver sendo d v = d x assim:

∫ ln ⁡ x d x = xln ⁡ x - ∫ 1 x × x d x = xln ⁡ x - ∫ d x

∫ ln ⁡ x d x = xln ⁡ x - x

Passo 3

Substituindo:

∫ ln ⁡ x 2 = ln ⁡ x 2 x - 2 xln ⁡ x - x + k =

= x ln ⁡ x 2 - 2 x ln ⁡ x + 2 x + k = x ln 2 ⁡ x - 2 ln ⁡ x + 2 + k

Lembrando sempre da constante

Resposta

∫ ln ⁡ x 2 = x ln 2 ⁡ x - 2 ln ⁡ x + 2 + k

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