1-38 Calcule a integral.

36. ∫ 0 π ( x + x cos ⁡ x ) d x

Passo 1

Vamos começar dando uma ajeitada nessa integral.

∫ 0 π ( x + x cos ⁡ x ) d x = ∫ 0 π x   d x + ∫ 0 π x cos ⁡ x d x

Resolver a primeira integral é fácil, fácil. Olha só:

∫ 0 π x   d x = x 2 2 0 π = π 2 2

Já a segunda integral,a gente vai resolver usando o método de integração por partes. Então, primeiro vamos ver quem vai ser o nosso u e o nosso d v . Que tal usarmos aquele macete, hein?! O famoso L I A T E .

Se você não sabe, é um macete que eu super recomendo você gravar. É muiiiito fácil e ajuda bastante.

l → f u n ç õ e s   l o g a r í t m i c a s

i → i n v e r s a s   t r i g o n o m é t r i c a s

a → f u n ç õ e s   a l g é b r i c a s

t → f u n ç õ e s   t r i g o n o m é t r i c a s

e → f u n ç õ e s   e x p o n e n c i a i s

Para escolher o nosso u , é só seguir essa ordem de preferência que começa de cima para baixo.

Então, sejam u = x e   cos ⁡ x   d x = d v .

u = x                   →       d u = d x cos ⁡ x = d v         →       v = s e n   x

Passo 2

Assim, vamos ter que

∫ 0 π x cos ⁡ x d x = x   s e n x 0 π - ∫ 0 π s e n   x   d x  

Agora ficou fácil né?!

Resolvendo a integral do lado direito, obtemos

∫ 0 π s e n   x   d x = - cos ⁡ x 0 π = 2

Por último, é só a gente calcular isso aqui

x   s e n x 0 π = 0

Somando as respostas, vemos que

∫ 0 π ( x + x cos ⁡ x ) d x = π 2 2 + 2 + 0 = π 2 + 4 2

Resposta

π 2 + 4 2

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