Calcule:

∫ 0 x t 2 e - s t d t

Passo 1

Para esse caso essas duas funções, t 2 e e - s t vamos usar a integração por partes da seguinte maneira:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Sempre que tivermos um polinômio, é preferível escolher o polinômio como u , nesse caso:

u = t 2 → d u = 2 t d t   e   v = - e - s t s → d v = e - s t d t

Vai ficar assim:

∫ 0 x t 2 e - s t d t = - t 2 e - s t s - ∫ - e - s t s 2 t d t x 0

∫ 0 x t 2 e - s t d t = - t 2 e - s t s + 2 s ∫ e - s t t d t x 0

Passo 2

∫ 0 x t 2 e - s t d t = - t 2 e - s t s + 2 s ∫ e - s t t d t x 0

Temos a integral ∫ e - s t t d t que vai cair numa integração por partes de novo

Vamos usar: u = t → d u = d t   e   v = - e - s t s → d v = e - s t d x

∫ t e - s t d t = - e - s t s t - ∫ - e - s t s d t

∫ t e - s t d t = - e - s t s t + 1 s ∫ e - s t d t

Para calcular:

∫ e - s t d t

Vamos fazemos uma substituição tal que w = - s t → d w = - s d t → - d w s = d t

∫ e - s t d t = - 1 s ∫ e w d w = - 1 s e w = - 1 s e - s t

Substituindo:

∫ t e - s t d t = - e - s t s t + 1 s - 1 s e - s t = - e - s t s t - 1 s 2 e - s t

Agora que temos ∫ t e - s t d t   vamos substituir:

∫ 0 x t 2 e - s t d t = - t 2 e - s t s + 2 s ∫ e - s t t d t x 0

∫ 0 x t 2 e - s t d t = - t 2 e - s t s + 2 s - e - s t s t - 1 s 2 e - s t x 0

∫ 0 x t 2 e - s t d t = - t 2 e - s t s - 2 e - s t s 2 t - 2 1 s 3 e - s t x 0

Passo 3

Ok! Temos, agora, apenas que usar o teorema fundamental do cálculo que diz:

Que se F t é uma primitiva de f t , então podemos dizer que:

∫ a b f t d t = F b - F a

Então vamos usar que o nosso F t = - t 2 e - s t s - 2 e - s t s 2 t - 2 1 s 3 e - s t , e a = x   e   b = 0 :

- x 2 e - s x s - 2 e - s x s 2 x - 2 1 s 3 e - s x - - 0 2 e - s ( 0 ) s - 2 e - s ( 0 ) s 2 0 - 2 1 s 3 e - s ( 0 )

∫ 0 x t 2 e - s t d t = - x 2 e - s x s - 2 e - s x s 2 x - 2 1 s 3 e - s x - - 2 1 s 3 1 =

= - x 2 e - s x s - 2 e - s x s 2 x - 2 s 3 e - s x + 2 s 3

Resposta

∫ 0 x t 2 e - s t d t = - x 2 e - s x s - 2 e - s x s 2 x - 2 s 3 e - s x + 2 s 3

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