Determine y = y(x) que satisfaça as condições dadas

dy/dx = e^y e y(0) = 1

Passo 1

Primeiramente vamos colocar pra cada lado os termos com mesma variável:

d y d x = e y

d y e y = e - y d y = d x

Agora podemos integrar:

∫ e - y d y = ∫ d x = x + k

Passo 2

A integral vai ficar:

∫ e - y d y = x + k

Vamos aplicar uma substituição, tal que:

u = - y → d u = - d y

- ∫ e u d u = x + k

- e u = x + k

Voltando pra variálve y :

- e - y = x + k

Passo 3

Se quisermos y :

e - y = - x + k

- y = ln ⁡ k - x → y = - ln ⁡ k - x

Passo 4

Agora vamos achar k substituindo x = 0

y ( 0 ) = - ln ⁡ k

Sabemos que y 0 = 1 , então:

1 = - ln ⁡ k → k = e - 1 = 1 e

Substituindo esse valor em y x :

y = - ln ⁡ 1 e - x

Resposta

y = - ln ⁡ 1 e - x

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