Enunciado

Calcule.

int (2)/(x^3 (x + 2)) d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais.

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, e alguns dos fatores são repetidos, vamos então usar a seguinte fórmula:

(2)/(x^3 (x + 2)) = (A)/(x) + (B)/(x^2) + (C)/(x^3) + (D)/(x + 2)

Vamos achar os valores de A , B , C e D , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x^3 (x + 2) :

(2 x^3 (x + 2))/(x^3 (x + 2)) = (A x^3 (x + 2))/(x) + (B x^3 (x + 2))/(x^2) + (C x^3 (x + 2))/(x^3) + (D x^3 (x + 2))/(x + 2) ->

->

-> 2 = A x^2 (x + 2) + B x (x + 2) + C (x + 2) + D x^3

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

2 = A x^2 (x + 2) + B x (x + 2) + C (x + 2) + D x^3

2 = A x^3 + 2 A x^2 + B x^2 + 2 B x + C x + 2 C + D x^3

2 = x^3 (A + D) + x^2 (2 A + B) + x (2 B + C) + (2 C)

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x^3 , x^2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + D = 0],[2 A + B = 0],[2 B + C = 0],[2 C = 2 -> C = 1]]) -> {[[A + D = 0],[2 A + B = 0],[2 B + 1 = 0 -> B = - (1)/(2)],[C = 1]]) -> {[[D = - A],[2 A - (1)/(2) = 0 -> A = (1)/(4)],[B = - (1)/(2)],[C = 1]]) -> {[[D = - (1)/(4)],[A = (1)/(4)],[B = - (1)/(2)],[C = 1]])

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

int (2)/(x^3 (x + 2)) d x = int ((1)/(4))/(x) + (- (1)/(2))/(x^2) + (1)/(x^3) + (- (1)/(4))/(x + 2) d x =

= int (1)/(4 x) - (1)/(2 x^2) + (1)/(x^3) - (1)/(4 (x + 2)) d x = int (1)/(4 x) d x + int - (1)/(2 x^2) d x + int (1)/(x^3) d x + int - (1)/(4 (x + 2)) d x

Pronto, agora vamos resolver as quatros integrais separadamente.

Passo 3

Na primeira é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int (1)/(4 x) d x = (1)/(4) int (1)/(x) d x = (1)/(4) ln |x| + C

Passo 4

Com a segunda para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Aplicando:

int - (1)/(2 x^2) d x = - (1)/(2) int (1)/(x^2) d x = - (1)/(2) int x^(- 2) d x = - (1)/(2) * (x^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + C = - (1)/(2) * (x^(- 1))/(- 1) + C = (1)/(2 x) + C

Passo 5

E com a terceira, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Aplicando:

int (1)/(x^3) d x = int x^(- 3) d x = (x^(- 3 + 1))/(- 3 + 1) + C = (x^(- 2))/(- 2) + C = - (1)/(2 x^2) + C

Passo 6

Com a última vamos usar a Regra da Substituição:

t = x + 2

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int - (1)/(4 (x + 2)) d x = - (1)/(4) int (1)/(x + 2) d x = - (1)/(4) int (1)/(t) d t

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

- (1)/(4) int (1)/(t) d t = - (1)/(4) ln |t| + C

Passo 7

Agora é só juntar tudo:

int (2)/(x^3 (x + 2)) d x = int (1)/(4 x) d x + int - (1)/(2 x^2) d x + int (1)/(x^3) d x + int - (1)/(4 (x + 2)) d x = (1)/(4) ln |x| + (1)/(2 x) - (1)/(2 x^2) - (1)/(4) ln |t| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (2)/(x^3 (x + 2)) d x = (1)/(4) ln |x| + (1)/(2 x) - (1)/(2 x^2) - (1)/(4) ln |t| + C = (1)/(4) ln |x| + (1)/(2 x) - (1)/(2 x^2) - (1)/(4) ln |x + 2| + C

Resposta

int (2)/(x^3 (x + 2)) d x = (1)/(4) ln |x| + (1)/(2 x) - (1)/(2 x^2) - (1)/(4) ln |x + 2| + C

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