Calcule a integral definida.

∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 5 12 d t e 2 t + 16

Passo 1

Podemos usar para resolver a integral a substituição u ( t ) = e t , que nos dá d u = e t d t ⇒ d t = d u e t = d u u . Sabendo que u ln ⁡ 2 = e ln ⁡ 2 = 2 e u ln ⁡ 5 = e ln ⁡ 5 = 5 , a nossa integral então ficará então:

∫ 2 5 12 d u u u 2 + 16 = ∫ 2 5 12 d u u u 2 + 16    

Passo 2

Agora podemos tentar decompor a nossa fração em frações parciais, para então integrar cada uma separadamente. Vamos tentar abrir nossa fração dessa forma:

12 u u 2 + 16 = A u + B u + C u 2 + 16

Agora devemos desenvolver a soma, e comparando com a fração original encontraremos os valores de A ,   B e C . Vamos então fazer a soma:

A u + B u + C u 2 + 16 = A u 2 + 16 + B u 2 + C u u u 2 + 16

Agora devemos arrumar a expressão, agrupando os termos com cada potência de u .

Passo 3

A nossa fração então fica:

A + B u 2 + C u + 16 A u u 2 + 16 = 12 u u 2 + 16    

Cada valor que está multiplicado por uma potência de u deve ser o mesmo valor que está na fração original. Isso nos dá 3 equações:

  1. A + B = 0
  2. C = 0
  3. 16 A = 12

Os valores são então A = 12 16 = 3 4 , B = - 3 4 e C = 0 . Temos então nossa expressão dividida em frações parciais:

12 u u 2 + 16 = 3 4 u - 3 u 4 ( u 2 + 16 )

Passo 4

Agora podemos integrar:

∫ 12 d u u u 2 + 16 = 3 4 ∫ d u u - 3 8 ∫ 2 u d u u 2 + 16 = 3 4 ln ⁡ u - 3 8 ln ⁡ u 2 + 16 + C

Então:

∫ 2 5 12 d u u u 2 + 16 = 3 4 ln ⁡ u 2 5 - 3 8 ln ⁡ u 2 + 16 2 5 = 3 4 ln ⁡ 5 - 3 4 ln ⁡ 2 - 3 8 ln ⁡ 41 + 3 8 ln ⁡ 20

= 3 4 ln ⁡ 5 - 3 4 ln ⁡ 2 - 3 8 ln ⁡ 41 + 3 4 ln ⁡ 2 + 3 8 ln ⁡ 5 = 9 ln ⁡ 5 - 3 ln ⁡ 41 8  

Resposta

9 ln ⁡ 5 - 3 ln ⁡ 41 8

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