Calcule a área do conjunto de todos os (x, y) tais que 4x^2 + y^2 <= 1 .

Passo 1

Olá, galerinha! Vamos lá, vamos analisar a expressão, temos aqui que 4 x 2 + y 2 ≤ 1 é uma elipse, e que a equação da elipse pode ser escrita da seguinte maneira:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

E a gente consegue calcular a área dela pela seguinte fórmula:

A = π ⋅ a ⋅ b

Mas estamos em um capítulo de integral! Então vamos usar a integral para resolver essa questão!

temos que a expressão 4 x 2 + y 2 ≤ 1 é uma elipse, e podemos ver ela na figura abaixo:

Vamos usar a expressão com igualdade para calcular a integral, e vamos calcular apenas a área do primeiro quadrante, e multiplicar o resultado por 4 , assim obtemos a área total.

Vamos montar a integral, o limite de integral é de 0 a 1 2 e vamos integrar em função de x , assim temos que isolar o x na expressão:

4 x 2 + y 2 = 1 → y 2 = 1 - 4 x 2 → y = 1 - 4 x 2

Pronto, agora é só colocar na integral:

A = 4 ∫ 0 1 2 1 - 4 x 2 d x

Passo 2

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ 1 - 4 x 2   d x

Aqui vamos usar a substituição trigonométrica e para isso vamos usar o seguinte triângulo retângulo,

Note que, 1 - 4 x 2 = 1 - 2 x 2

Vamos usar a seguinte substituição:

sen ⁡ θ = 2 x 1 → x = 1 2 sin ⁡ θ

Derivando:

d x = 1 2 cos ⁡ θ   d θ

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 - 4 x 2 d x = ∫ 1 - 4 1 2 sen ⁡ θ 2 1 2 cos ⁡ θ d θ =

Simplificando,

= 1 2 ∫ 1 - sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Agora vamos usar a seguinte identidade sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 :

1 2 ∫ 1 - sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ cos ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ

Vamos ter que usar outra identidade:

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

Aplicando-a:

1 2 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ = 1 2 ∫ 1 2 d θ + 1 2 ∫ cos ⁡ 2 θ 2 d θ =

Pronto, chegamos a duas integrais que dá pra calcular, vamos calcular as duas separadamente.

Passo 3

Com a primeira para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c d x = c x + C

Aplicando:

1 4 ∫ 1 d θ = 1 4 θ + C

Passo 4

Vamos para segunda,

1 2 ∫ cos ⁡ 2 θ 2 d θ

Aqui vamis usar a Regra da Substituição

v = 2 θ

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 2 d θ → d v 2 = d θ

Fazendo a substituição ficamos com:

1 2 ∫ cos ⁡ 2 θ 2 d θ = 1 2 ∫ cos ⁡ v 2 ⋅ 2 d v = 1 8 ∫ cos ⁡ v d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

Aplicando:

1 8 ∫ cos ⁡ v d v = 1 8 sen ⁡ v + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

∫ 1 - 4 x 2   d x = = 1 4 θ + 1 8 sen ⁡ 2 θ + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo.

Então temos,

sen ⁡ θ = 2 x 1 → θ = arcsin ⁡ 2 x

Substituindo,

∫ 1 - 4 x 2   d x = 1 4 arcsen ⁡ 2 x + 1 8 2 sin ⁡ 2 θ + C =

= 1 4 arcsen ⁡ 2 x + 1 8 sen ⁡ 2 arcsen ⁡ 2 x + C

Passo 6

Pronto, já encontramos a integral indefinida, perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Ficamos então com:

A = 4 ∫ 0 1 2 1 - 4 x 2 d x = 4 1 4 arcsen ⁡ 2 x + 1 8 sen ⁡ 2 arcsen ⁡ 2 x 0 1 2 =

Aplicando,

= 4 1 4 arcsen ⁡ 2 ⋅ 1 2 + 1 8 sen ⁡ 2 arcsen ⁡ 2 ⋅ 1 2 - 1 4 arcsen ⁡ 2 ⋅ 0 + 1 8 sen ⁡ 2 arcsen ⁡ 2 ⋅ 0 =

= 4 1 4 arcsen ⁡ 1 + 1 8 sen ⁡ 2 arcsen ⁡ 1 - 1 4 arcsen ⁡ 0 + 1 8 sen ⁡ 2 arcsen ⁡ 0 =

= 4 1 4 ⋅ π 2 + 1 8 sen ⁡ 2 ⋅ π 2 - 1 4 ⋅ 0 + 1 8 sen ⁡ 2 ⋅ 0 = 4 π 8 + 1 8 sen ⁡ π - 1 8 sen ⁡ 0 =

= 4 π 8 + 1 8 ⋅ 0 - 1 8 ⋅ 0 = 4 π 8 = π 2

Resposta

A = π 2

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