Calcule.

∫ x - 1 x 2 x + 1 2 d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais.

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, e alguns dos fatores são repetidos, vamos então usar a seguinte fórmula:

x - 1 x 2 x + 1 2 = A x + B x 2 + C x + 1 + D x + 1 2

Vamos achar os valores de A , B , C e D , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x 2 x + 1 2 :

x - 1 = A x x + 1 2 + B x + 1 2 + C x 2 x + 1 + D x 2

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

x - 1 = A x x + 1 2 + B x + 1 2 + C x 2 x + 1 + D x 2

x - 1 = A x x 2 + 2 x + 1 + B x 2 + 2 x + 1 + C x 3 + C x 2 + D x 2

x - 1 = A x 3 + 2 A x 2 + A x + B x 2 + 2 B x + B + C x 3 + C x 2 + D x 2

x - 1 = x 3 A + C + x 2 2 A + B + C + D + x A + 2 B + B

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x 3 , x 2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + C = 0 2 A + B + C + D = 0 A + 2 B = 1 B = - 1 → A + C = 0 → C = - A 2 A - 1 + C + D = 0 A - 2 = 1 → A = 3 B = - 1 → C = - 3 2 A - 1 + C + D = 0 → D = - 2 A = 3 B = - 1

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ x - 1 x 2 x + 1 2 d x = ∫ 3 x - 1 x 2 - 3 x + 1 - 2 x + 1 2 d x =

= ∫ 3 x d x + ∫ - 1 x 2 d x + ∫ - 3 x + 1 d x + ∫ - 2 x + 1 2 d x

Pronto, agora vamos resolver as quatros integrais separadamente.

Passo 3

Na primeira é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 3 x d x = 3 ∫ 1 x d x = 3 ln ⁡ x + C

Passo 4

Com a segunda para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Aplicando:

∫ - 1 x 2 d x = - ∫ 1 x 2 d x = - ∫ x - 2 d x = - x - 2 + 1 - 2 + 1 + C = - x - 1 - 1 + C = 1 x + C

Passo 5

E com a terceira, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ - 3 x + 1 d x = - 3 ∫ 1 x + 1 d x = - 3 ∫ 1 u d t

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

- 3 ∫ 1 u d t = - 3 ln ⁡ u + C

Passo 6

Com a última vamos usar a Regra da Substituição:

t = x + 1

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ - 2 x + 1 2 d x = - 2 ∫ 1 x + 1 2 d x = - 2 ∫ 1 t 2 d t

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Aplicando:

- 2 ∫ 1 t 2 d t = - 2 ∫ t - 2 d t = - 2 ⋅ t - 2 + 1 - 2 + 1 + C = - 2 ⋅ t - 1 - 1 + C = 2 t + C

Passo 7

Agora é só juntar tudo:

∫ x - 1 x 2 x + 1 2 d x = ∫ 3 x d x + ∫ - 1 x 2 d x + ∫ - 3 x + 1 d x + ∫ - 2 x + 1 2 d x = 3 ln ⁡ x + 1 x - 3 ln ⁡ u + 2 t + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x - 1 x 2 x + 1 2 d x = 3 ln ⁡ x + 1 x - 3 ln ⁡ u + 2 t + C = 3 ln ⁡ x + 1 x - 3 ln ⁡ x + 1 + 2 x + 1 + C

Resposta

∫ x - 1 x 2 x + 1 2 d x = 3 ln ⁡ x + 1 x - 3 ln ⁡ x + 1 + 2 x + 1 + C

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