Enunciado

Calcule.

int (x - 1)/(x^2 (x + 1)^2) d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais.

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, e alguns dos fatores são repetidos, vamos então usar a seguinte fórmula:

(x - 1)/(x^2 (x + 1)^2) = (A)/(x) + (B)/(x^2) + (C)/(x + 1) + (D)/((x + 1)^2)

Vamos achar os valores de A , B , C e D , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x^2 (x + 1)^2 :

x - 1 = A x (x + 1)^2 + B (x + 1)^2 + C x^2 (x + 1) + D x^2

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

x - 1 = A x (x + 1)^2 + B (x + 1)^2 + C x^2 (x + 1) + D x^2

x - 1 = A x (x^2 + 2 x + 1) + B (x^2 + 2 x + 1) + C x^3 + C x^2 + D x^2

x - 1 = A x^3 + 2 A x^2 + A x + B x^2 + 2 B x + B + C x^3 + C x^2 + D x^2

x - 1 = x^3 (A + C) + x^2 (2 A + B + C + D) + x (A + 2 B) + (B)

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x^3 , x^2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + C = 0],[2 A + B + C + D = 0],[A + 2 B = 1],[B = - 1]]) -> {[[A + C = 0 -> C = - A],[2 A - 1 + C + D = 0],[A - 2 = 1 -> A = 3],[B = - 1]]) -> {[[C = - 3],[2 A - 1 + C + D = 0 -> D = - 2],[A = 3],[B = - 1]])

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

int (x - 1)/(x^2 (x + 1)^2) d x = int (3)/(x) - (1)/(x^2) - (3)/(x + 1) - (2)/((x + 1)^2) d x =

= int (3)/(x) d x + int - (1)/(x^2) d x + int - (3)/(x + 1) d x + int - (2)/((x + 1)^2) d x

Pronto, agora vamos resolver as quatros integrais separadamente.

Passo 3

Na primeira é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int (3)/(x) d x = 3 int (1)/(x) d x = 3 ln |x| + C

Passo 4

Com a segunda para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Aplicando:

int - (1)/(x^2) d x = - int (1)/(x^2) d x = - int x^(- 2) d x = - (x^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + C = - (x^(- 1))/(- 1) + C = (1)/(x) + C

Passo 5

E com a terceira, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int - (3)/(x + 1) d x = - 3 int (1)/(x + 1) d x = - 3 int (1)/(u) d t

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

- 3 int (1)/(u) d t = - 3 ln |u| + C

Passo 6

Com a última vamos usar a Regra da Substituição:

t = x + 1

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int - (2)/((x + 1)^2) d x = - 2 int (1)/((x + 1)^2) d x = - 2 int (1)/(t^2) d t

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Aplicando:

- 2 int (1)/(t^2) d t = - 2 int t^(- 2) d t = - 2 * (t^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + C = - 2 * (t^(- 1))/(- 1) + C = (2)/(t) + C

Passo 7

Agora é só juntar tudo:

int (x - 1)/(x^2 (x + 1)^2) d x = int (3)/(x) d x + int - (1)/(x^2) d x + int - (3)/(x + 1) d x + int - (2)/((x + 1)^2) d x = 3 ln |x| + (1)/(x) - 3 ln |u| + (2)/(t) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (x - 1)/(x^2 (x + 1)^2) d x = 3 ln |x| + (1)/(x) - 3 ln |u| + (2)/(t) + C = 3 ln |x| + (1)/(x) - 3 ln |x + 1| + (2)/(x + 1) + C

Resposta

int (x - 1)/(x^2 (x + 1)^2) d x = 3 ln |x| + (1)/(x) - 3 ln |x + 1| + (2)/(x + 1) + C

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