Enunciado

Calcule.

int (4 x^2 + 17 x + 13)/((x - 1) (x^2 + 6 x + 10)) d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais.

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos com um fator irredutível do 2 º grau, vamos então usar a seguinte fórmula:

(4 x^2 + 17 x + 13)/((x - 1) (x^2 + 6 x + 10)) = (A)/(x - 1) + (B x + C)/(x^2 + 6 x + 10)

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores (x - 1) (x^2 + 6 x + 10) :

((x - 1) (x^2 + 6 x + 10) (4 x^2 + 17 x + 13))/((x - 1) (x^2 + 6 x + 10)) = (A (x - 1) (x^2 + 6 x + 10))/(x - 1) + ((B x + C) (x - 1) (x^2 + 6 x + 10))/(x^2 + 6 x + 10) ->

-> 4 x^2 + 17 x + 13 = A (x^2 + 6 x + 10) + (B x + C) (x - 1)

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

4 x^2 + 17 x + 13 = A (x^2 + 6 x + 10) + (B x + C) (x - 1)

4 x^2 + 17 x + 13 = A x^2 + 6 A x + 10 A + B x^2 - B x + C x - C

4 x^2 + 17 x + 13 = x^2 (A + B) + x (6 A - B + C) + (10 A - C)

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então vamos igualar os coeficientes de x^2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B = 4 -> B = 4 - A],[6 A - B + C = 17],[10 A - C = 13 -> C = 10 A - 13]])

Usando o B isolado na primeira e o C isolado na terceira na segunda expressão:

6 A - B + C = 17 -> 6 A - 4 + A + 10 A - 13 = 17 -> 17 A = 34 -> A = 2

Agora vamos achar os valores de B e C :

B = 4 - A = 4 - 2 = 2

C = 10 A - 13 = 10 * 2 - 13 = 20 - 13 = 7

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

int (4 x^2 + 17 x + 13)/((x - 1) (x^2 + 6 x + 10)) d x = int (2)/(x - 1) + (2 x + 7)/(x^2 + 6 x + 10) d x =

= int (2)/(x - 1) d x + int (2 x + 7)/(x^2 + 6 x + 10) d x

Pronto, agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 3

Vamos usar a Regra da Substituição na primeira, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0 d t = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (2)/(x - 1) d x = 2 int (1)/(x - 1) d x = 2 int (1)/(u) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

2 int (1)/(u) d u = 2 ln |u| + C

Passo 4

Com a segunda vamos completar quadrado no denominador:

int (2 x + 7)/(x^2 + 6 x + 10) d x = int (2 x + 7)/(x^2 + 6 x + 9 + 1) d x = int (2 x + 7)/((x + 3)^2 + 1) d x

Vamos usar a Regra da Substituição:

v = x + 3 -> x = v - 3

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (2 x + 7)/((x + 3)^2 + 1) d x = int (2 (v - 3) + 7)/(v^2 + 1) d v = int (2 v - 6 + 7)/(v^2 + 1) d v = int (2 v + 1)/(v^2 + 1) d v = int (2 v)/(v^2 + 1) + (1)/(v^2 + 1) d v = int (2 v)/(v^2 + 1) d v + int (1)/(v^2 + 1) d v

Vamos calcular as duas separadamente.

Passo 5

Vamos usar a regra da substituição na primeira integral:

t = v^2 + 1

d t = 2 v + 0 d v = 2 v d v

Assim:

int (2 v)/(v^2 + 1) d v = int (1)/(t) d t

Vamos usar a mesma expressão da anterior para achar as primitivas da função:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

int (1)/(t) d t = ln |t| + C

Com a segunda vamos achar as primitivas da função usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x^2 + 1) d x = arctg x + C

Aplicando:

int (1)/(v^2 + 1) d v = arctg v + C

Passo 6

Agora é só juntar tudo:

int (4 x^2 + 17 x + 13)/((x - 1) (x^2 + 6 x + 10)) d x = int (2)/(x - 1) d x + int (2 x + 7)/(x^2 + 6 x + 10) d x = 2 ln |u| + int (2 v)/(v^2 + 1) d v + int (1)/(v^2 + 1) d v = 2 ln |u| + ln |t| + arctg v + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (4 x^2 + 17 x + 13)/((x - 1) (x^2 + 6 x + 10)) d x = 2 ln |u| + ln |t| + arctg v + C = 2 ln |x - 1| + ln |v^2 + 1| + arctg (x + 3) + C = 2 ln |x - 1| + ln |(x + 3)^2 + 1| + arctg (x + 3) + C

Resposta

int (4 x^2 + 17 x + 13)/((x - 1) (x^2 + 6 x + 10)) d x = 2 ln |x - 1| + ln |(x + 3)^2 + 1| + arctg (x + 3) + C

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