Calcule.

∫ 4 x 2 + 17 x + 13 x - 1 x 2 + 6 x + 10 d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais.

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos com um fator irredutível do 2 º grau, vamos então usar a seguinte fórmula:

4 x 2 + 17 x + 13 x - 1 x 2 + 6 x + 10 = A x - 1 + B x + C x 2 + 6 x + 10

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x - 1 x 2 + 6 x + 10 :

x - 1 x 2 + 6 x + 10 4 x 2 + 17 x + 13 x - 1 x 2 + 6 x + 10 = A x - 1 x 2 + 6 x + 10 x - 1 + B x + C x - 1 x 2 + 6 x + 10 x 2 + 6 x + 10 →

→ 4 x 2 + 17 x + 13 = A x 2 + 6 x + 10 + B x + C x - 1

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

4 x 2 + 17 x + 13 = A x 2 + 6 x + 10 + B x + C x - 1

4 x 2 + 17 x + 13 = A x 2 + 6 A x + 10 A + B x 2 - B x + C x - C

4 x 2 + 17 x + 13 = x 2 A + B + x 6 A - B + C + 10 A - C

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então vamos igualar os coeficientes de x 2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B = 4 → B = 4 - A 6 A - B + C = 17 10 A - C = 13 → C = 10 A - 13

Usando o B isolado na primeira e o C isolado na terceira na segunda expressão:

6 A - B + C = 17 → 6 A - 4 + A + 10 A - 13 = 17 → 17 A = 34 → A = 2

Agora vamos achar os valores de B e C :

B = 4 - A = 4 - 2 = 2

C = 10 A - 13 = 10 ⋅ 2 - 13 = 20 - 13 = 7

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ 4 x 2 + 17 x + 13 x - 1 x 2 + 6 x + 10 d x = ∫ 2 x - 1 + 2 x + 7 x 2 + 6 x + 10 d x =

= ∫ 2 x - 1 d x + ∫ 2 x + 7 x 2 + 6 x + 10 d x

Pronto, agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 3

Vamos usar a Regra da Substituição na primeira, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0   d t = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 2 x - 1 d x = 2 ∫ 1 x - 1 d x = 2 ∫ 1 u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

2 ∫ 1 u d u = 2 ln ⁡ u + C

Passo 4

Com a segunda vamos completar quadrado no denominador:

∫ 2 x + 7 x 2 + 6 x + 10 d x = ∫ 2 x + 7 x 2 + 6 x + 9 + 1 d x = ∫ 2 x + 7 x + 3 2 + 1 d x

Vamos usar a Regra da Substituição:

v = x + 3 → x = v - 3

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 2 x + 7 x + 3 2 + 1 d x = ∫ 2 v - 3 + 7 v 2 + 1 d v = ∫ 2 v - 6 + 7 v 2 + 1 d v = ∫ 2 v + 1 v 2 + 1 d v = ∫ 2 v v 2 + 1 + 1 v 2 + 1 d v = ∫ 2 v v 2 + 1 d v + ∫ 1 v 2 + 1 d v

Vamos calcular as duas separadamente.

Passo 5

Vamos usar a regra da substituição na primeira integral:

t = v 2 + 1

d t = 2 v + 0 d v = 2 v d v

Assim:

∫ 2 v v 2 + 1 d v = ∫ 1 t d t

Vamos usar a mesma expressão da anterior para achar as primitivas da função:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

∫ 1 t d t = ln ⁡ t + C

Com a segunda vamos achar as primitivas da função usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x 2 + 1 d x = arctg ⁡ x + C

Aplicando:

∫ 1 v 2 + 1 d v = arctg ⁡ v + C

Passo 6

Agora é só juntar tudo:

∫ 4 x 2 + 17 x + 13 x - 1 x 2 + 6 x + 10 d x = ∫ 2 x - 1 d x + ∫ 2 x + 7 x 2 + 6 x + 10 d x = 2 ln ⁡ u + ∫ 2 v v 2 + 1 d v + ∫ 1 v 2 + 1 d v = 2 ln ⁡ u + ln ⁡ t + arctg ⁡ v + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 4 x 2 + 17 x + 13 x - 1 x 2 + 6 x + 10 d x = 2 ln ⁡ u + ln ⁡ t + arctg ⁡ v + C = 2 ln ⁡ x - 1 + ln ⁡ v 2 + 1 + arctg ⁡ x + 3 + C = 2 ln ⁡ x - 1 + ln ⁡ x + 3 2 + 1 + arctg ⁡ x + 3 + C

Resposta

∫ 4 x 2 + 17 x + 13 x - 1 x 2 + 6 x + 10 d x = 2 ln ⁡ x - 1 + ln ⁡ x + 3 2 + 1 + arctg ⁡ x + 3 + C

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