Enunciado

Calcule

int sqrt(- x^2 + 2 x + 2) d x

Passo 1

Oi, pessoal! Na integral que temos para resolver tem um polinômio de grau dois dentro de uma raíz. Isso tem cara que da para simplificar né? Vamos reescrever esse polinômio para ver se simplifica!

Essa raíz é muito diferente do que estamos acostumados, mas podemos modelar para algo:

sqrt(- x^2 + 2 x + 2) = sqrt(- ( x^2 - 2 x - 2 ))

O nosso objetivo era transformar em algo do tipo, pois assim podemos fazer uma substituição trigonométrica:

sqrt(a^2 - x^2)

Porém essa equação tá muito estranha e nem dá pra colocar em algum formato que possamos resolver, porém essa equação quase é: x^2 - 2 x + 1 , e se somarmos 1?

Claro, temos que subtrair 1 também pra manter a raíz original, então:

sqrt(- ( x^2 - 2 x - 2 + (1 - 1) )) =

sqrt(- ( x^2 - 2 x - 3 + 1 )) =

sqrt(3 - ( x^2 - 2 x + 1 )) =

sqrt(3 - (x - 1)^2) =

Agora estamos perto dessa forma sqrt(a^2 - x^2)

Para ficar nesse formato vamos aceitar que a = sqrt(3) e que u = x - 1 -> d u = d x , então teremos:

int sqrt(- x^2 + 2 x + 2) d x = int sqrt((sqrt(3))^2 - u^2) d u

A função dentro da integral é:

f (u) = sqrt((sqrt(3))^2 - u^2)

Pronto! Agora podemos fazer a nossa substituição trigonométrica!

Passo 2

A substituição trigonométrica funciona assim!

A gente pega um triângulo retângulo com ângulo theta como esse:

Agora vamos para substituição!

Bem, se dissermos que

(sqrt((sqrt(3))^2 - u^2))/(sqrt(3)) = cos theta -> sqrt((sqrt(3))^2 - u^2) = sqrt(3) cos theta

Então,

(u)/(sqrt(3)) = sin theta

Derivando o seno,

d u = sqrt(3) cos theta d theta

Assim podemos substituir a integral dessa forma:

int sqrt((sqrt(3))^2 - u^2) d u = int sqrt(3) cos theta (sqrt(3) cos theta) d theta = 3 int cos^2 theta d theta

Ótimo! Agora podemos calcular essa integral de maneira mais fácil

Passo 3

Podemos, agora, integrar:

3 int cos^2 theta d theta

Lembrando que:

cos^2 theta = (1)/(2) (1 + cos 2 theta)

3 int cos^2 theta d theta = 3 int (1)/(2) (1 + cos 2 theta) d theta = (3)/(2) int (1 + cos 2 theta) d theta

Se fizermos a substituição:

u = 2 theta -> d u = 2 d theta

Então:

(3)/(2) int (1 + cos 2 theta) d theta = (3)/(2) int (1)/(2) (1 + cos u) d u = (3)/(4) int (1 + cos u) d u = (3)/(4) (u + sin u)

Voltando pra variável theta :

3 int cos^2 theta d theta = (3)/(4) (2 theta + sin 2 theta) + k = (3 theta)/(2) - (3 sin 2 theta)/(4) + k

Mas ainda não acabou! Temos que chegar na variável x

Passo 4

Vamos lembrar que:

(sqrt((sqrt(3))^2 - u^2))/(sqrt(3)) = cos theta e (u)/(sqrt(3)) = sin theta

Então o nosso theta será,

arcsin ((u)/(sqrt(3))) = theta

E que:

sin 2 theta = 2 sin theta cos theta

Assim:

(3 theta)/(2) - 3 (sin 2 theta)/(4) + k = (3)/(2) arcsin ((u)/(sqrt(3))) - (3)/(4) xx 2 sin theta cos theta + k =

= (3)/(2) arcsin ((u)/(sqrt(3))) - (3)/(2) sin theta cos theta + k =

= (3)/(2) arcsin ((u)/(sqrt(3))) - (3)/(2) ((u)/(sqrt(3))) ((sqrt((sqrt(3))^2 - u^2))/(sqrt(3))) + k =

= (3)/(2) arcsin ((u)/(sqrt(3))) - (1)/(2) u sqrt((sqrt(3))^2 - u^2) + k

Temos que voltar pra variável x ! Lembra que, u = x - 1

= (3)/(2) arcsin ((x - 1)/(sqrt(3))) - (1)/(2) (x - 1) sqrt(- x^2 + 2 x + 2) + k

Temos, então:

int sqrt(- x^2 + 2 x + 2) d x = (3)/(2) arcsin ((x - 1)/(sqrt(3))) - (1)/(2) (x - 1) sqrt(- x^2 + 2 x + 2) + k

Resposta

int sqrt(- x^2 + 2 x + 2) d x = (3)/(2) arcsin ((x - 1)/(sqrt(3))) - (1)/(2) (x - 1) sqrt(- x^2 + 2 x + 2) + k

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