Avalie a integral.

∫ d x x 2 + 2 x + 2 2

Passo 1

Para a resolução de uma integral pela substituição trigonométrica, precisamos fazer a escolha da substituição. Sendo u = tan ⁡ θ , logo, derivando temos d x = sec 2 ⁡ θ d θ . E, ainda u 2 + 1 = sec 2 ⁡ θ .

Para x 2 + 2 x + 2 , temos que usar o método de completar os quadrados.

x 2 + 2 x + 2 = x + 1 2 + 1

Então, u = x + 1 e d u = d x . Logo,

∫ d u u 2 + 1 2

Assim podemos aplicar as substituições trigonométricas!!

∫ d u u 2 + 1 2 = ∫ sec 2 ⁡ θ d θ sec 4 ⁡ θ

Essa integral tem como resultado:

∫ cos 2 ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ ( 1 + cos ⁡ 2 θ ) d θ = 1 2 ( θ + sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) + C

Logo,

∫ cos 2 ⁡ θ d θ = 1 2 tan - 1 ⁡ u + u 1 + u 2 + C

∫ cos 2 ⁡ θ d θ = 1 2 tan - 1 ⁡ ( x + 1 ) + x + 1 x 2 + 2 x + 2 + C

Prontinho!!

Resposta

∫ cos 2 ⁡ θ d θ = 1 2 tan - 1 ⁡ ( x + 1 ) + x + 1 x 2 + 2 x + 2 + C

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