Calcule.

∫ 1 1 + x d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos à obra! Agora vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vamos lá:

u = 1 + x → x = u - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 0 + 1 2 x - 1 2   d x → d u = 1 2 x d x

Fazendo a substituição:

∫ 1 1 + x d x = ∫ 1 u 2 x d u = ∫ 1 u 2 u - 1 d u = 2 ∫ u - 1 u d u

Agora vamos separar os termos da expressão da integral:

2 ∫ u - 1 u d u = 2 ∫ u u - 1 u d u = 2 ∫ 1 - 1 u d u

Passo 2

Pronto, agora é fácil achar as primitivas da função, usando essas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k   d x = k x + C

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

2 ∫ 1 - 1 u d u = 2 1 ⋅ u - ln ⁡ u + C = 2 u - ln ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você foi usando no começo:

∫ 1 1 + x d x = 2 u - ln ⁡ u + C = 2 1 + x - ln ⁡ 1 + x + C

Resposta

∫ 1 1 + x d x = 2 1 + x - ln ⁡ 1 + x + C

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