Avalie a integral.

∫ d x 9 x 2 + 6 x - 8

Passo 1

Para a resolução de uma integral pela substituição trigonométrica, precisamos fazer a escolha da substituição. Sendo u = 3 sec ⁡ θ , onde 0 ≤ θ ≤ π 2 ou π ≤ θ ≤ 3 π 2 . Logo, derivando temos d x = 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ .

Para 9 x 2 + 6 x - 8 , temos que usar o método de completar os quadrados.

9 x 2 + 6 x - 8 = 3 x + 1 2 - 9

Então, u = 3 x + 1 e d u = 3 d x . Logo,

∫ 1 3 d u u 2 - 9

Assim podemos aplicar as substituições trigonométricas!!

1 3 ∫ sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ ( 3 sec ⁡ θ ) 2 - 9 = 1 3 ∫ sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ 3 tan ⁡ θ = 1 3 ∫ sec ⁡ θ d θ

Essa integral tem como resultado:

1 3 ∫ sec ⁡ θ d θ = 1 3 ln ⁡ | sec ⁡ θ + tan ⁡ θ | + C = 1 3 ln ⁡ | u + u 2 - 9 3 | + C

Logo,

∫ 1 3 d u u 2 - 9 = ln ⁡ | u + u 2 - 9 | + C

∫ d x 9 x 2 + 6 x - 8 = ln ⁡ | 3 x + 1 + 9 x 2 + 6 x - 8 | + C

Prontinho!!

Resposta

∫ d x 9 x 2 + 6 x - 8 = ln ⁡ | 3 x + 1 + 9 x 2 + 6 x - 8 | + C

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