Calcule:

∫ x 2 + 1 x - 2 3 d x

Passo 1

Inicialmente, para resolvermos essa integral, vamos fazer a seguinte substituição simples:

u = x - 2 ⇒ x = u + 2

E, portanto:

u = x - 2

d u d x = 1

d u = d x

Logo:

∫ x 2 + 1 x - 2 3 d x = ∫ ( u + 2 ) 2 + 1 u 3 d u

∫ x 2 + 1 x - 2 3 d x = ∫ u 2 + 4 u + 4 + 1 u 3 d u

∫ x 2 + 1 x - 2 3 d x = ∫ u 2 + 4 u + 5 u 3 d u

∫ x 2 + 1 x - 2 3 d x = ∫ u 2 u 3 d u + ∫ 4 u u 3 d u + ∫ 5 u 3 d u

∫ x 2 + 1 x - 2 3 d x = ∫ 1 u d u + 4 ∫ 1 u 2 d u + 5 ∫ 1 u 3 d u

Lembrando:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 ; n ≠ - 1

∫ 1 m x + n d x = 1 m l n | m x + n |

Então:

∫ x 2 + 1 x - 2 3 d x = l n u - 4 u - 5 2 u 2 + C

Fazendo uso, novamente da substituição:

∫ x 2 + 1 x - 2 3 d x = l n x - 2 - 4 ( x - 2 ) - 5 2 ( x - 2 ) 2 + C

∫ x 2 + 1 x - 2 3 d x = l n x - 2 - ( 8 x - 2 + 5 ) 2 ( x - 2 ) 2 + C

∫ x 2 + 1 x - 2 3 d x = l n x - 2 - ( 8 x - 16 + 5 ) 2 ( x - 2 ) 2 + C

∫ x 2 + 1 x - 2 3 d x = l n x - 2 - ( 8 x - 1 1 ) 2 ( x - 2 ) 2 + C

Por fim, temos, como solução:

∫ x 2 + 1 x - 2 3 d x = l n x - 2 + 11 - 8 x 2 ( x - 2 ) 2 + C

Resposta

∫ x 2 + 1 x - 2 3 d x = l n x - 2 + 11 - 8 x 2 ( x - 2 ) 2 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados