Enunciado

Trace a função y = 1 / ( x 3 - 2 x 2 ) e sua primitiva na mesma tela.

Passo 1

Devemos encontrar a primitiva para a função e traçar ambos as curvas no mesmo gráfico. Para encontrar a primitiva da função, vamos recorrer às frações parciais.

1 x 3 - 2 x 2 = 1 x 2 x - 2 = A x + B x 2 + C x - 2

Portanto,

A x x - 2 + B x - 2 + C x 2 = 1

Logo,

A + C x 2 + - 2 A - 2 B x - 2 B = 1

Desta forma, B = - 1 / 2 e, como - 2 A - 2 B = 0 ⇒ A = - B = 1 / 2 . Além disso, A + C = 0 ⇒ C = - A = - 1 / 2 . Assim,

∫ 1 x 3 - 2 x 2 d x = 1 2 ∫ 1 x - 1 x 2 - 1 x - 2 d x

Passo 2

Calculando a integral e fazendo a constante de integração igual a 0 , temos que

∫ 1 x 3 - 2 x 2 d x = 1 2 ln ⁡ | x | + 1 2 x - 1 2 ln ⁡ | x - 2 |

Passo 3

Em vermelho traçamos o gráfico da função e em azul sua primitiva:

Resposta

Esboço de gráfico.

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Calcule as integrais. Talvez seja necessário fazer substituição primeiro.
Calcule a integral ∫ 0 1 x 3 + 2 x x 4 + 4 x 2 + 3 d x
Calcule a integral ∫ 0 1 x - 4 x 2 + 5 x + 6d x
Calcule a integral ∫ 4 x x 3 + x 2 + x + 1 d x
Calcule a integral ∫ a x x 2 - b x d x