Enunciado

Calcule.

int (4 x + 1)/(x^2 + 6 x + 8) d x

Passo 1

Olá, pessoal! Repara que nessa função, o polinomio do denominador tem um grau maior do que o do numerador. Isso é um indicativo de que vamos usar frações parciais para resolver.

Agora precisamos saber qual caso esse encaixa, então vamos analisar o denominador.

A expressão (x + 3)^2 = x^2 + 6 x + 9 é bem parecida com a que temos, então vamos fazer assim:

x^2 + 6 x + 12 = x^2 + 6 x + 9 - 1 = (x + 3)^2 - 1

Substituindo:

int (4 x + 1)/(x^2 + 6 x + 8) d x = int (4 x + 1)/((x + 3)^2 - 1) d x

Repara que ele é um fator linear com um fator irredutível do 2 º grau; Então vamos fazer umas mudanças na função para deixar ela mais simples de resolver!

Agora vamos usar a Regra da Substituição:

v = x + 3 -> x = v - 3

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (4 x + 1)/((x + 3)^2 - 1) d x = int (4 (v - 3) + 1)/(v^2 - 1) d v

Ajeitando a funçã,

= int (4 v - 11)/(v^2 - 1) d v

Vamos separar essa subtração,

= int (4 v)/(v^2 - 1) - (11)/(v^2 - 1) d v = int (4 v)/(v^2 - 1) d v + int - (11)/(v^2 - 1) d v

Vamos calcular as duas separadamente.

Passo 2

Vamos começar com,

int (4 v)/(v^2 - 1) d v

Vamos usar a regra da substituição na primeira integral:

t = v^2 - 1

d t = 2 v d v

Assim:

int (4 v)/(v^2 - 1) d v = int (2)/(t) d t

Vamos achar as primitivas da função usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

int (2)/(t) d t = 2 int (1)/(t) d t = 2 ln |t| + C

Passo 3

Com a segunda:

int - (11)/(v^2 - 1) d v = - 11 int (1)/((v - 1) (v + 1)) d v

Vamos analisar o denominador! Ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

(1)/((v - 1) (v + 1)) = (A)/(v - 1) + (B)/(v + 1)

Fazendo essa soma, ficamos com,

(1)/((v - 1) (v + 1)) = ((A (v + 1) + B (v - 1)))/((v - 1) (v + 1))

Com todos tem a mesma base, podemos igualar os numeradores,

1 = A (v + 1) + B (v - 1)

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A (v + 1) + B (v - 1)

1 = A v + A + B v - B

1 = v (A + B) + (A - B)

Temos uma igualdade de polinômios, então vamos igualar os coeficientes de v de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B = 0 -> A = - B],[A - B = 1]])

Substituindo A na segunda:

A - B = 1 -> - B - B = 1 -> - 2 B = 1 -> B = - (1)/(2)

A = - (- (1)/(2)) = (1)/(2)

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

- 11 int (1)/((v - 1) (v + 1)) d v = - 11 int ((1)/(2))/(v - 1) + (- (1)/(2))/(v + 1) d v

= - 11 int (1)/(2 (v - 1)) - (1)/(2 (v + 1)) d v

Integrando,

= - 11 ((1)/(2) ln |v - 1| - (1)/(2) ln |v + 1|)

Passo 4

Agora é só juntar tudo:

int (4 x + 1)/(x^2 + 6 x + 8) d x = int (4 v)/(v^2 - 1) d v + int - (11)/(v^2 - 1) d v

= 2 ln |t| - 11 ((1)/(2) ln |v - 1| - (1)/(2) ln |v + 1|) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (4 x + 1)/(x^2 + 6 x + 8) d x = 2 ln |t| - 11 ((1)/(2) ln |v - 1| - (1)/(2) ln |v + 1|) + C

= 2 ln |v^2 - 1| - 11 ((1)/(2) ln |x + 3 - 1| - (1)/(2) ln |x + 3 + 1|) + C

= 2 ln |(x + 3)^2 - 1| - 11 ((1)/(2) ln |x + 2| - (1)/(2) ln |x + 4|) + C

Resposta

int (4 x + 1)/(x^2 + 6 x + 8) d x = 2 ln |(x + 3)^2 - 1| - 11 ((1)/(2) ln |x + 2| - (1)/(2) ln |x + 4|) + C

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v = (( t + 3 ))/(( t + 1 ) ( t + 2 ))
int (1)/(9 x^4 + x^2) d x
int (x + 3)/(4 x^4 + 4 x^3 + x^2) d x
int (1)/(16 x^4 - 1) d x
int (1)/(x^3 + x^2 + x) d x