Calcule:

∫ x 2 + 3 x + 1 x 2 - 2 x - 3 d x

Passo 1

Para resolvermos nossa integral, vamos fazer uso de uma técnica algébrica para facilitar nossas vidas que é dada por:

Dada uma equação do segundo grau qualquer, escrita da forma:

f x = a x 2 + b x + c

Ela pode ser reescrita como:

a x 2 + b x + c = a ( x - x 1 ) ( x - x 2 )

Sendo x 1 e x 2 as soluções reais da equação.

Com essa informação em mãos, vamos reescrever a equação do segundo grau que temos:

f x = x 2 - 2 x - 3

Usando Baskhara:

x 1 = - b + b 2 - 4 a c 2 a   e   x 2 = - b - b 2 - 4 a c 2 a

Sendo:

a = 1   b = - 2   c = - 3

Teremos:

x 1 = - ( - 2 ) + ( - 2 ) 2 - 4.1 . ( - 3 ) 2.1

x 1 = 3

x 2 = - ( - 2 ) - - 2 2 - 4.1 . ( - 3 ) 2.1

x 2 = - 1

Como: a x 2 + b x + c = a ( x - x 1 ) ( x - x 2 )

Podemos reescrever nossa equação como sendo (sintam-se à vontade para verificar a validade da igualdade):

x 2 - 2 x - 3 = ( x - 3 ) ( x + 1 )

Sabendo dessa informação, podemos fazer alguns ajustes algébricos para reescrever nossa integral:

∫ x 2 + 3 x + 1 x 2 - 2 x - 3 d x = ∫ x 2 + ( 2 x + x ) + 1 ( x - 3 ) ( x + 1 ) d x

∫ x 2 + 3 x + 1 x 2 - 2 x - 3 d x = ∫ ( x 2 + 2 x + 1 ) + x ( x - 3 ) ( x + 1 ) d x

∫ x 2 + 3 x + 1 x 2 - 2 x - 3 d x = ∫ x + 1 2 ( x - 3 ) ( x + 1 ) d x + ∫ x ( x - 3 ) ( x + 1 ) d x

Passo 2

Chamaremos:

E q . 1 = ∫ x + 1 2 ( x - 3 ) ( x + 1 ) d x

E q . 2 = ∫ x ( x - 3 ) ( x + 1 ) d x

Resolveremos, inicialmente, a Eq.1:

∫ x + 1 2 ( x - 3 ) ( x + 1 ) d x = ∫ ( x + 1 ) ( x - 3 ) d x

Vamos fazer uma substituição simples, definindo:

u = x - 3 ⇒ x = u + 3

E, portanto:

u = x - 3

d u d x = 1

d u = d x

Logo:

∫ ( x + 1 ) ( x - 3 ) d x = ∫ ( u + 3 ) + 1 u d u

∫ ( x + 1 ) ( x - 3 ) d x = ∫ u + 4 u d u

∫ ( x + 1 ) ( x - 3 ) d x = ∫ u u d u + ∫ 4 u d u

∫ ( x + 1 ) ( x - 3 ) d x = ∫ 1   d u + 4 ∫ 1 u d u

Lembrando:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 ; n ≠ - 1

∫ 1 m x + n d x = 1 m l n | m x + n |

∫ ( x + 1 ) ( x - 3 ) d x = ∫ 1   d u + 4 ∫ 1 u d u

∫ ( x + 1 ) ( x - 3 ) d x = u + 4   l n u + C 1

Usando, novamente, a substituição:

∫ ( x + 1 ) ( x - 3 ) d x = x - 3 + 4   l n x - 3 + C 1

Logo, como:

∫ x + 1 2 ( x - 3 ) ( x + 1 ) d x = ∫ ( x + 1 ) ( x - 3 ) d x

Temos:

E q . 1 = ∫ x + 1 2 ( x - 3 ) ( x + 1 ) d x = x - 3 + 4   l n x - 3 + C 1

Passo 3

Agora, vamos resolver a Eq.2:

∫ x ( x - 3 ) ( x + 1 ) d x

Para resolvê-la, iremos recorrer ao seguinte teorema:

Sejam α ,   β ,   m   e   n reais dados, com α ≠ β . Então existem constantes A   e   B tais que:

a )   m x + n ( x - α ) ( x - β ) = A ( x - α ) + B ( x - β ) ;

b ) m x + n x - α 2 = A ( x - α ) + B x - α 2 .

Atenção: o Teorema só é válido para quando o grau do numerador é MENOR do que o grau do denominador!!!

Podemos resolvê-la diretamente:

x ( x - 3 ) ( x + 1 ) = A ( x - 3 ) + B ( x + 1 )

Aplicando o MMC, passamos a ter:

x x - 3 x + 1 = A ( x + 1 ) + B ( x - 3 ) ( x - 3 ) ( x + 1 )

Como temos uma igualdade com denominadores iguais, vamos analisar, por comparação, apenas os numeradores:

x = A x + 1 + B ( x - 3 )

Vamos ditar valores para x para que consigamos zerar uma constante e trabalhar com apenas uma incógnita:

Para x = 3 :

4 A = 3

A = 3 4

Para x = - 1 :

- 4 B = - 1

B = 1 4

Então, por fim, podemos reescrever nossa integral final como sendo:

∫ x ( x - 3 ) ( x + 1 ) d x = ∫ 3 4 ( x - 3 ) d x + ∫ 1 4 ( x + 1 ) d x

Vamos resolver separadamente, novamente:

∫ 3 4 ( x - 3 ) d x = 3 4 ∫ 1 ( x - 3 ) d x

∫ 3 4 ( x - 3 ) d x = 3 4 ln ⁡ x - 3 + C 2

∫ 1 4 ( x + 1 ) d x = 1 4 ∫ 1 ( x + 1 ) d x

∫ 1 4 ( x + 1 ) d x = 1 4 l n x + 1 + C 3

Portanto:

E q . 2 = ∫ x ( x - 3 ) ( x + 1 ) d x = 3 4 ln ⁡ x - 3 + C 2 + 1 4 l n x + 1 + C 3

Passo 4

Vamos somar Eq.1+Eq.2 para obter nossa solução:

E q . 1 + E q . 2 = x - 3 + 4   l n x - 3 + C 1 3 4 ln ⁡ x - 3 + C 2 + 1 4 l n x + 1 + C 3

Vamos adotar: C 1 + C 2 + C 3 = C , sendo C uma constante real.

Logo, por fim:

∫ x 2 + 3 x + 1 x 2 - 2 x - 3 d x = x - 3 + 19 4 ln ⁡ x - 3 + 1 4 l n x + 1 + C

Resposta

∫ x 2 + 3 x + 1 x 2 - 2 x - 3 d x = x - 3 + 19 4 ln ⁡ x - 3 + 1 4 l n x + 1 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados