Calcule.

∫ 1 2 x + 3 d x

Passo 1

Uma questão que precisaremos fazer uma simples substituição, mas vamos com calma e atenção. E chamaremos u de 2 x + 3

2 x + 3 = u

Temos que ter TODOS os termos em função de u , inclusive d x e como faremos isso? Sem estresse, iremos derivar a expressão:

( 2 x + 3 ) '   = ( u ) '

2 d x = d u

Isolando d x , pois é esse fator que participa da integral! Está em dúvida, da uma olhadinha:

d x = d u 2

Passo 2

Anotando aquilo que já obtemos:

2 x + 3 = u

Não se esqueça do d x , é um passo importante para resolvermos:

d x = d u 2

Agora temos tudo em função de u , nossa primeira missão foi concluída, Substituiremos:

∫ 1 2 x + 3 d x = ∫ 1 u d u 2

Lembrando que no caso de uma constante (na nossa integral a constante é o 1 2 ) podemos ‘’tirar’’ da integral:

∫ 1 u d u 2 = 1 2 ∫ d u u

Passo 3

A integral acima ( ∫ d u u ) é imediata, lembra? Não, então toma essa colher de chá ( ∫ d u u = ln ⁡ | u | + c ) :

∫ 1 u d u 2 = 1 2 ∫ d u u = 1 2 ln ⁡ | u | + c

A nossa resposta não deve ser em função de u hein, mas sim em função de x ( 2 x + 3 = u ) Retornando e obteremos a resposta:

∫ 1 2 x + 3 d x = 1 2 ln ⁡ | 2 x + 3 | + c

Resposta

∫ 1 2 x + 3 d x = 1 2 ln ⁡ | 2 x + 3 | + c

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