Enunciado

10. Calcule

g)

int 3^x d x

Passo 1

Queremos calcular a seguinte integral:

I = int 3^x d x

Da seção 12.1 desse capítulo, temos o seguinte:

c ) int e^x d x = e^x + k

Passo 2

Então vamos deixar o 3^x parecido com a relação aí de cima.

3^x = e^(ln (3^x))

Logo,

I = int e^(ln (3^x)) d x

Como ln (3^x) = x ln ( 3 ) :

I = int e^(x ln (3)) d x

Pra finalizar, vamos fazer a seguinte substituição:

u = x ln (3)

Derivando,

d u = ln ( 3 ) d x

Passo 3

Nossa integral era:

I = int e^(x ln (3)) d x

E vai ficar o seguinte:

I = int e^u (d u)/(ln (3))

Assim,

I = (1)/(ln (3)) int e^u d u

Usando a relação do Passo 1:

I = (1)/(ln (3)) (e^u + k_1)

Como u = x ln (3) :

I = (1)/(ln (3)) (e^(x ln (3)) + k_1)

Usando que 3^x = e^(ln (3^x)) e juntado as constantes:

I = (1)/(ln (3)) 3^x + k

Resposta

int 3^x d x = (1)/(ln (3)) 3^x + k

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