10. Calcule

g)

∫ 3 x   d x

Passo 1

Queremos calcular a seguinte integral:

I = ∫ 3 x   d x

Da seção 12.1 desse capítulo, temos o seguinte:

c ) ∫ e x   d x = e x + k

Passo 2

Então vamos deixar o 3 x parecido com a relação aí de cima.

3 x = e ln ⁡ 3 x

Logo,

I = ∫ e ln ⁡ 3 x   d x

Como ln ⁡ 3 x = x ln ⁡ ( 3 ) :

I = ∫ e x ln ⁡ 3 d x

Pra finalizar, vamos fazer a seguinte substituição:

u = x ln ⁡ 3

Derivando,

d u = ln ⁡ ( 3 ) d x

Passo 3

Nossa integral era:

I = ∫ e x ln ⁡ 3 d x

E vai ficar o seguinte:

I = ∫ e u d u ln ⁡ 3

Assim,

I = 1 ln ⁡ 3 ∫ e u d u

Usando a relação do Passo 1:

I = 1 ln ⁡ 3 e u + k 1

Como u = x ln ⁡ 3 :

I = 1 ln ⁡ 3 e x ln ⁡ 3 + k 1

Usando que 3 x = e ln ⁡ 3 x e juntado as constantes:

I = 1 ln ⁡ 3 3 x + k

Resposta

∫ 3 x   d x = 1 ln ⁡ 3 3 x + k

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