Calcule.

∫ 0 1 1 x + 1 5 d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0   d x → d u = d x

E temos que os novos limites de integração vão ser:

x = 0 → u = 0 + 1 = 1

x = 1 → u = 1 + 1 = 2

Vamos agora fazer a substituição:

∫ 0 1 1 x + 1 5 d x = ∫ 1 2 1 u 5 d u = ∫ 1 2 u - 5 d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ u - 5 d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ u - 5 d u = u - 5 + 1 - 5 + 1 = u - 4 - 4 = - 1 4 u 4 + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Ficamos então com:

∫ 1 2 u - 5 d u = - 1 4 u 4 1 2 = - 1 4 ⋅ 2 4 - - 1 4 ⋅ 1 4 = - 1 64 + 1 4 = - 1 + 16 64 = 15 64

Resposta

∫ 0 1 1 x + 1 5 d x = 15 64

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