Enunciado

Suponha que P x seja um polinômio cúbico. Enuncie uma forma geral da decomposição em frações parciais de:

f x = P x x + 5 4

E enuncie as implicações dessa decomposição para o cálculo da integral ∫ f x d x .

Passo 1

Então pessoal, o que temos aqui é uma divisão normal entre dois polinômios, no qual o grau do polinômio do numerador é menor do que o grau do polinômio do denominador. Assim como solicitado, vamos decompor essa divisão em frações parciais, beleza? Show! Como o grau da variável no denominador é 1 e o grau de todo o polinômio no denominador é 4 , então teremos:

P x x + 5 4 = A x + 5 + B x + 5 2 + C x + 5 3 + D x + 5 4

Ok, até aqui tudo certo, né? Então bora continuar!

Passo 2

O que temos que fazer agora é multiplicar os dois lados da igualdade pelo denominador, se liga:

P x x + 5 4 x + 5 4 = A x + 5 4 x + 5 + B x + 5 4 x + 5 2 + C x + 5 4 x + 5 3 + D x + 5 4 x + 5 4

Simplificando, teremos:

P x = A x + 5 3 + B x + 5 2 + C x + 5 + D

E a partir disso o processo seria comparar os graus dos polinômios em ambos os lados da igualdade para estabelecer um sisteminha de equações, a fim de encontrar as constantes A , B , C e D .

As implicações dessa decomposição para a nossa integral é que, uma vez encontrado os valores das constantes, todas as 4 integrais serão resolvidas por substituições simples! Esse é o motivo de utilizarmos frações parciais quando encontramos uma divisão de polinômios.

E essa é a nossa análise da questão, galera! 😉

Resposta

Forma geral: P x = A x + 5 3 + B x + 5 2 + C x + 5 + D

Implicações explicadas no passo 2.

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