Calcule

Passo 1

Observando o conjunto B deseja-se calcular a integral dupla através da mudança de variável. Lembrando que, pelo teorema de Fubini:

∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Ou:

∫ a b ∫ c y d y f x ,   y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x f x ,   y d y d x

Neste caso, B é dado no enunciado como a área limitada por parábolas e fazendo:

u = y - x 2

v = x

Ou ainda:

x = v

y = u + v 2

Pretende-se determinar o resultado da transformação dada por:

d x d y = ∂ x ,   y ∂ u ,   v d u d v

Então:

∂ x ,   y ∂ u ,   v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v = 0 1 1 2 v = - 1 = 1

∂ x ,   y ∂ u ,   v = 1

Portanto:

d x d y = d u d v

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B u v , onde B = φ B u v . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é um conjunto de parábolas:

Então, a partir das inequações dadas pelo enunciado, obtém-se:

Quando 1 + x 2 = y → u = 1

Quando 2 + x 2 = y → u = 2

Quando x + x 2 = y → x = y - x 2 → v = u

Quando x = 0 → v = 0

Dessa forma, tem-se:

B u v = u ,   v ∈ R 2 | 1 ≤ u ≤ 2   e   0 ≤ v ≤ u

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

∫ ∫ B e y - x 2 y - x 2   d x d y = ∫ ∫ B u v e u u d u d v

= ∫ 1 2 e u u ∫ 0 u d v d u

E, resolvendo-a:

= ∫ 1 2 e u u v | u 0 d u

Substituindo o intervalo de integração:

= ∫ 1 2 e u d u

Passo 4

Para a outra integral, obtém-se:

= e u | 2 1

Substituindo o intervalo de integração:

= e 2 - e

PS.: depois de muito revisar, acreditamos que o gabarito do final do livro esteja trocado =X

Resposta

e 2 - e

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