Calcule o centro de massa

Passo 1

Através da integral dupla, as coordenadas do centro de massa de um conjunto B são dadas por:

x c = ∫ ∫ B x   d m ∫ ∫ B d m

y c = ∫ ∫ B y   d m ∫ ∫ B d m

Onde o elemento de massa é dado por:

d m = δ x ,   y   d x d y

Neste caso, B é dado por:

Tal que para:

0 ≤ x ≤ 1

E

x ≤ y ≤ x + 1

Além de que, para a densidade, o produto das coordenadas é:

δ x ,   y = x y

Passo 2

A massa de B é dada por:

∫ ∫ B d m = ∫ 0 1 ∫ x x + 1 x y   d y d x

= ∫ 0 1 x y 2 2 | x + 1 x d x

Substituindo o intervalo de integração:

= 1 2 ∫ 0 1 x x + 1 2 - x 2 d x = 1 2 ∫ 0 1 x 3 + 2 x 2 + x - x 3 d x

= 1 2 2 x 3 3 + x 2 2 | 1 0

Assim:

= 1 2 2 3 + 1 2 = 7 12

Passo 3

Assim, para a coordenada x do centro de massa teremos:

∫ ∫ B x d m = ∫ 0 1 ∫ x x + 1 x x y   d y d x

= ∫ 0 1 x 2 y 2 2 | x + 1 x d x

Substituindo o intervalo de integração:

= 1 2 ∫ 0 1 x 2 x + 1 2 - x 2 d x = 1 2 ∫ 0 1 x 4 + 2 x 3 + x 2 - x 4 d x

= 1 2 x 4 2 + x 3 3 | 1 0

Assim:

= 1 2 1 2 + 1 3 = 5 12

Passo 4

Já para a coordenada y do centro de massa teremos:

∫ ∫ B y d m = ∫ 0 1 ∫ x x + 1 y x y   d y d x

= ∫ 0 1 x y 3 3 | x + 1 x d x

Substituindo o intervalo de integração:

= 1 3 ∫ 0 1 x x + 1 3 - x 3 d x = 1 3 ∫ 0 1 x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 + x - x 4 d x

= 1 3 3 x 4 4 + x 3 + x 2 2 | 1 0

Assim:

= 1 3 3 4 + 1 + 1 2 = 3 4

Passo 5

Logo, substituindo esses resultados nas equações, o centro de massa estará localizado em:

x c = 5 / 1 2 7 / 1 2 = 5 7

E

y c = 3 / 4 7 / 1 2 = 9 7

Logo:

5 7 , 9 7

Resposta

5 7 , 9 7

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