Calcule

Passo 1

Observando o conjunto B deseja-se calcular a integral dupla através da mudança de variável. Lembrando que, pelo teorema de Fubini:

∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Ou:

∫ a b ∫ c y d y f x ,   y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x f x ,   y d y d x

Neste caso, B é dado no enunciado como um paralelogramo e fazendo:

u = x - y

v = 2 x + y

Ou ainda:

x = u + v 3

y = v - 2 u 3

Pretende-se determinar o resultado da transformação dada por:

d x d y = ∂ x ,   y ∂ u ,   v d u d v

Então:

∂ x ,   y ∂ u ,   v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v = 1 3 1 3 - 2 3 1 3 = 1 9 + 2 9 = 1 3

∂ x ,   y ∂ u ,   v = 1 3

Portanto:

d x d y = 1 3 d u d v

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B u v , onde B = φ B u v . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é um paralelogramo:

Então, a partir das inequações dadas pelo enunciado, obtém-se:

Quando - 2 x = y → v = 0

Quando y = x → u = 0

Quando x - π = y → u = π

Quando y = - 2 x + π → v = π

Dessa forma, tem-se:

B u v = u ,   v ∈ R 2 | 0 ≤ u ≤ π   e   0 ≤ v ≤ π

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

∫ ∫ B 2 x + y cos ⁡ x - y d x d y = ∫ ∫ B u v v c o s u 1 3 d u d v

= 1 3 ∫ 0 π v ∫ 0 π c o s u d u d v

E, resolvendo-a:

= 1 3 ∫ 0 π v s e n u | π 0 d v

Substituindo o intervalo de integração:

= 1 3 ∫ 0 π v s e n π - s e n 0 d v = 0

Resposta

0

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