Calcule

Passo 1

Observando o conjunto B deseja-se calcular a integral dupla através da mudança de variável. Lembrando que, pelo teorema de Fubini:

∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Ou:

∫ a b ∫ c y d y f x ,   y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x f x ,   y d y d x

Neste caso, B lembra a equação de um círculo e, logo, deve envolver coordenadas polares na mudança de variável. Então, deve-se reorganizar a equação na forma convencional para representar um círculo:

x 2 + y 2 = r 2

Para tanto, deve-se completar quadrados:

x 2 - x + y 2 = 0 → x 2 - x + y 2 + 1 4 = 1 4

x - 1 2 2 + y 2 = 1 2 2

E, portanto:

x - 1 2 = ρ c o s θ

y = ρ s e n θ

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

x ,   y = φ ρ ,   θ

Dada por:

d x d y = ∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ d ρ d θ

Então:

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ∂ x ∂ ρ ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ ρ ∂ y ∂ θ = c o s θ - ρ s e n θ s e n θ ρ c o s θ = ρ c o s 2 θ + s e n 2 θ = ρ

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ρ

Portanto:

d x d y = ρ d ρ d θ

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B ρ θ , onde B = φ B ρ θ . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é um círculo de raio r = 1 / 2 de uma volta completa, então as novas variáveis serão dadas por:

0 ≤ ρ ≤ 1 2

E

0 ≤ θ ≤ 2 π

Dessa forma, tem-se:

B ρ θ = ρ ,   θ ∈ R 2 | 0 ≤ ρ ≤ 1 2   e   0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

∫ ∫ B x   d x d y = ∫ ∫ B ρ θ 1 2 + ρ c o s θ ρ d ρ d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 / 2 1 2 ρ + ρ 2 c o s θ d ρ d θ

E, resolvendo-a:

∫ 0 2 π ρ 2 4 + ρ 3 3 c o s θ | 1 / 2 0 d θ

Substituindo o intervalo de integração:

∫ 0 2 π 1 16 + 1 24 c o s θ d θ

Passo 4

Então:

= 1 16 θ + s e n θ 24 | 2 π 0

Substituindo o intervalo de integração:

1 16 2 π = π 8

Resposta

π 8

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