Calcule

Passo 1

Observando o conjunto B deseja-se calcular a integral dupla através da mudança de variável. Lembrando que, pelo teorema de Fubini:

∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Ou:

∫ a b ∫ c y d y f x ,   y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x f x ,   y d y d x

Neste caso, B é dado no enunciado como um círculo e, logo, deve envolver coordenadas polares na mudança de variável. Então, fazendo:

2 x = ρ c o s θ

y = ρ s e n θ

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

x ,   y = φ ρ ,   θ

Dada por:

d x d y = ∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ d ρ d θ

Então:

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ∂ x ∂ ρ ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ ρ ∂ y ∂ θ = 1 2 c o s θ - ρ 2 s e n θ s e n θ ρ c o s θ = ρ 2 c o s 2 θ + s e n 2 θ = ρ 2

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ρ 2

Portanto:

d x d y = ρ 2 d ρ d θ

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B ρ θ , onde B = φ B ρ θ . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é uma elipse de raios a ≤ 1 / 2 e b ≤ 1 de uma volta completa, então as novas variáveis serão dadas por:

0 ≤ ρ ≤ 1

E

0 ≤ θ ≤ 2 π

Dessa forma, tem-se:

B ρ θ = ρ ,   θ ∈ R 2 | 0 ≤ ρ ≤ 1   e   0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

∫ ∫ B x 2   d x d y = ∫ ∫ B ρ θ ρ 2 4 c o s 2 θ ρ 2 d ρ d θ

∫ 0 2 π 1 8 c o s 2 θ ∫ 0 1 ρ 3 d ρ d θ

E, resolvendo-a:

∫ 0 2 π 1 8 c o s 2 θ ρ 4 4 | 1 0 d θ

Substituindo o intervalo de integração:

∫ 0 2 π 1 8 c o s 2 θ 1 4 d θ

1 32 ∫ 0 2 π c o s 2 θ d θ

Passo 4

Lembrando da identidade trigonométrica:

c o s 2 n x = 1 + cos ⁡ 2 n x 2

Então:

1 32 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ = 1 64 θ + s e n 2 θ 2 | 2 π 0

Substituindo o intervalo de integração:

1 64 2 π = π 32

Resposta

π 32

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