Enunciado

Calcule int int_B f (x , y) d x d y sendo dados:

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = int int_B f (x , y) d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = int int_B x c o s y d x d y

Ou:

F = int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) x c o s y d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) x c o s y d y] d x

Tem-se também:

x >= 0

E

x^2 <= y <= pi

No entanto, um detalhe deve ser observado! Para que as inequações que definem o valor das variáveis coincidam, o valor de x é limitado para:

0 <= x <= sqrt(pi)

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = int_0^(sqrt(pi)) [int_(y = x^2)^(y = pi) x c o s y d y] d x

F = int_0^(sqrt(pi)) x [s e n y] | [[y,=,pi],[y,=,x^2]] d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F = int_0^(sqrt(pi)) x [s e n pi - s e n x^2] d x

F = int_0^(sqrt(pi)) - x s e n x^2 d x

Passo 3

Agora, integrando em relação a x adotando o método da substituição simples com u = x^2 e d u = 2 x d x :

F = int_0^(sqrt(pi)) - s e n u ((d u)/(2))

F = (1)/(2) [cosu] | [[x,=,pi],[x,=,0]]

E, substituindo o intervalo de integração:

F = (1)/(2) [c o s pi - c o s 0]

F = - 1

Resposta

- 1

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