Enunciado

int_0^4 int_0^(sqrt(y)) - x y^2 d x d y

Passo 1

Temos um problema de integração em uma região geral. Como já nos foi dado a integral, não é necessário compreender qual o tipo de região.

Entretanto, por motivos didáticos, não custa fazer esta etapa, né! Então, como precisamos integrar em relação a x (basta olhar que o d x vem primeiro), e ele varia em torno de uma f (y) e uma g (y) , então, temos uma região do tipo 2!

Precisamos então integrar primeiramente em relação a x e substituir os limites de integração conforme o Teorema Fundamental do Cálculo,

Por fim, obteremos uma função de y , e aí basta integrá-la e substituir os limites de integração.

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a x . Portanto,

- int_0^4 int_0^(sqrt(y)) x y^2 d x d y

- int_0^4 ((x^2 y^2)/(2))_0^(sqrt(y)) d y

- int_0^4 (y^3)/(2) d y

Passo 3

Agora que chegamos a uma função de y apenas, podemos integrá-lo e utilizar o TFC para obter o valor da nossa integral dupla! Portanto, temos:

- int_0^4 (y^3)/(2) d y = - ((y^4)/(8))_0^4 = - 32

Resposta

int_0^4 int_0^(sqrt(y)) - x y^2 d x d y = - 32

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