Enunciado

Calcule

Passo 1

Similar ao procedimento das integrais duplas, o cálculo de uma integral tripla se dá por:

∫ ∫ ∫ B f x ,   y ,   z d x d y d z = ∫ ∫ K ∫ g x ,   y h x ,   y f x ,   y ,   z d z d x d y

Em que:

B = x ,   y ,   z | g x ,   y ≤ z ≤ h x ,   y ,   x ,   y ∈ K

Que também pode ser representado por:

= ∫ ∫ K ∫ g y ,   z h y ,   z f x ,   y ,   z d x d y d z

B = x ,   y ,   z | g y ,   z ≤ z ≤ h y ,   z ,   y ,   z ∈ K

= ∫ ∫ K ∫ g x ,   z h x ,   z f x ,   y ,   z d y d x d z

B = x ,   y ,   z | g x ,   z ≤ z ≤ h x ,   z ,   x ,   z ∈ K

Passo 2

Logo:

∫ ∫ ∫ B 1 - z 2 d x d y d z = ∫ ∫ K ∫ 0 1 1 - z 2 d y d x d z

Neste caso, K é dado por:

0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1

Resolvendo a primeira integral:

= ∫ ∫ K 1 - z 2 y | 1 0 d x d z

Tal que substituindo o intervalo de integração:

= ∫ ∫ K 1 - z 2 d x d z

Passo 3

Agora, a resolução pode ser feita da mesma forma para integrais duplas. Com isso:

= ∫ ∫ K 1 - z 2 d x d z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 - z 2 d z d x

Usando o método da substituição simples com z = s e n u e d z = c o s u d u , tem-se que:

Quando z = 1 → u = π 2

Quando z = 0 → u = 0

Logo:

= ∫ 0 1 ∫ 0 π / 2 1 - s e n 2 u c o s u d u d x = ∫ 0 1 ∫ 0 π / 2 c o s 2 u d u d x

Lembrando da identidade trigonométrica:

c o s 2 n u = 1 + cos ⁡ 2 n u 2

Tem-se:

= ∫ 0 1 ∫ 0 π / 2 1 + cos ⁡ 2 u 2 d u d x = 1 2 ∫ 0 1 ∫ 0 π / 2 1 + cos ⁡ 2 u d u d x

= 1 2 ∫ 0 1 u + s e n 2 u 2 | π / 2 0 d x

Substituindo o intervalo de integração:

= 1 2 ∫ 0 1 π 2 d x = π 4 ∫ 0 1 d x

Passo 4

Por fim, a última integral se dará por:

= π 4 x | 1 0

Substituindo o intervalo de integração:

= π 4

Resposta

π 4

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Escrever na forma de uma integral tripla iterada: ∫ ∫ ∫ T f d V Onde T é a região delimitada por z = x 2 + y 2 - 4 , z = 4 - x 2 - y 2 .
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T x y d V Onde T é o solido do primeiro octante limitada por z = 4 - x 2,y = 0 ,z = 0ey = x .
Esboçar a região de integração e calcular as integrais ∫ 0 1 ∫ x 2 x ∫ 0 2 + x + y x d z d y d x
Esboçar a região de integração e calcular as integrais ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y ∫ 0 1 - x - y d z d x d y
Esboçar a região de integração e calcular as integrais ∫ 0 2 ∫ 0 x 2 ∫ 0 y y d z d y d x