Enunciado

Calcule

Passo 1

Neste caso, o conjunto B deve ser determinado antes de tudo. Assim, visto que x varia de 0 a a , para cada valor de x fixo em [ 0 , a ] , y varia de 0 a x . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = {(x , y) in R^2 | 0 <= x <= a , 0 <= y <= x}

Dessa forma, vê-se que ele representa a região limitada pela reta y = x e o eixo das abscissas.

Fazendo:

x = rho c o s theta

y = rho s e n theta

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

(x , y) = phi (rho , theta)

Dada por:

d y d x = |(del (x , y))/(del (rho , theta))| d rho d theta

Então:

(del (x , y))/(del (rho , theta)) = |[[(del x)/(del rho),(del x)/(del theta)],[(del y)/(del rho),(del y)/(del theta)]]| = |[[c,o,s,theta,-,rho,s,e,n,theta],[s,e,n,theta,rho,c,o,s,theta]]| = rho (c o s^2 theta + s e n^2 theta) = rho

|(del (x , y))/(del (rho , theta))| = rho

Portanto:

d y d x = rho d rho d theta

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B_rho theta , onde B = phi (B_rho theta) . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original.

Então as novas variáveis serão dadas por:

Quando x = 0 -> rho = 0

Quando x = a -> rho = (a)/(c o s theta)

E:

Quando y = x -> rho c o s theta = rho s e n theta :. theta = (pi)/(4)

Quando y = 0 -> rho s e n theta = 0 :. theta = 0

Dessa forma, tem-se:

B_rho theta = {(rho , theta) in R^2 | 0 <= rho <= (a)/(c o s theta) e 0 <= theta <= (pi)/(4)}

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

int int_B (sqrt(x^2 + y^2)) d y d x = int int_B_rho theta (sqrt(rho^2 c o s^2 theta + rho^2 s e n^2 theta)) rho d rho d theta

= int_0^(pi // 4) [int_0^(a // c o s theta) (rho^2) d rho] d theta

E, resolvendo-a:

= int_0^(pi // 4) [(rho^3)/(3)] | [[(a)/(c o s theta)],[0]] d theta

Substituindo o intervalo de integração:

= (1)/(3) int_0^(pi // 4) [(a^3)/(c o s^3 theta)] d theta = (a^3)/(3) int_0^(pi // 4) [s e c^3 theta] d theta

Passo 4

Para este caso, utiliza-se o método da integral por partes, tal que:

u = s e c theta e d v = s e c^2 theta d theta -> d u = s e c theta t g theta d theta e v = t g theta

Lembrando que o método é dado por:

int u d v = u v - int v d u

Então:

int s e c^3 theta d theta = s e c theta t g theta - int t g theta (s e c theta t g theta) d theta = s e c theta t g theta - int s e c theta (s e c^2 theta - 1) d theta

int s e c^3 theta d theta = s e c theta t g theta - int (s e c^3 theta - s e c theta) d theta

Assim:

2 int s e c^3 theta d theta = s e c theta t g theta + int s e c theta d theta

int s e c^3 theta d theta = (1)/(2) [s e c theta t g theta + ln |s e c theta + t g theta|]

Dessa forma:

= (a^3)/(3) [(1)/(2) [s e c theta t g theta + ln |s e c theta + t g theta|]] | [[pi,//,4],[0]]

Substituindo o intervalo de integração:

= (a^3)/(6) [sqrt(2) + ln |sqrt(2) + 1|] = (a^3)/(6) [sqrt(2) + ln (sqrt(2) + 1)]

Resposta

(a^3)/(6) [sqrt(2) + ln (sqrt(2) + 1)]

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