Calcule

Passo 1

Neste caso, o conjunto B deve ser determinado antes de tudo. Assim, visto que x varia de 0 a a , para cada valor de x fixo em [ 0 ,   a ] , y varia de 0 a x . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = x ,   y ∈ R 2   |   0 ≤ x ≤ a ,   0 ≤ y ≤ x

Dessa forma, vê-se que ele representa a região limitada pela reta y = x e o eixo das abscissas.

Fazendo:

x = ρ c o s θ

y = ρ s e n θ

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

x ,   y = φ ρ ,   θ

Dada por:

d y d x = ∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ d ρ d θ

Então:

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ∂ x ∂ ρ ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ ρ ∂ y ∂ θ = c o s θ - ρ s e n θ s e n θ ρ c o s θ = ρ c o s 2 θ + s e n 2 θ = ρ

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ρ

Portanto:

d y d x = ρ d ρ d θ

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B ρ θ , onde B = φ B ρ θ . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original.

Então as novas variáveis serão dadas por:

Quando x = 0 → ρ = 0

Quando x = a → ρ = a c o s θ

E:

Quando y = x → ρ c o s θ = ρ s e n θ ∴ θ = π 4

Quando y = 0 → ρ s e n θ = 0 ∴ θ = 0

Dessa forma, tem-se:

B ρ θ = ρ ,   θ ∈ R 2 | 0 ≤ ρ ≤ a c o s θ   e   0 ≤ θ ≤ π 4

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

∫ ∫ B x 2 + y 2   d y d x = ∫ ∫ B ρ θ ρ 2 c o s 2 θ + ρ 2 s e n 2 θ   ρ d ρ d θ

= ∫ 0 π / 4 ∫ 0 a / c o s θ ρ 2 d ρ d θ

E, resolvendo-a:

= ∫ 0 π / 4 ρ 3 3 | a c o s θ 0 d θ

Substituindo o intervalo de integração:

= 1 3 ∫ 0 π / 4 a 3 c o s 3 θ d θ = a 3 3 ∫ 0 π / 4 s e c 3 θ d θ

Passo 4

Para este caso, utiliza-se o método da integral por partes, tal que:

u = s e c θ e d v = s e c 2 θ d θ → d u = s e c θ   t g θ d θ e v = t g θ

Lembrando que o método é dado por:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Então:

∫ s e c 3 θ d θ = s e c θ t g θ - ∫ t g θ s e c θ t g θ d θ = s e c θ t g θ - ∫ s e c θ s e c 2 θ - 1 d θ

∫ s e c 3 θ d θ = s e c θ t g θ - ∫ s e c 3 θ - s e c θ d θ

Assim:

2 ∫ s e c 3 θ d θ = s e c θ t g θ + ∫ s e c θ d θ

∫ s e c 3 θ d θ = 1 2 s e c θ t g θ + ln ⁡ s e c θ + t g θ

Dessa forma:

= a 3 3 1 2 s e c θ t g θ + ln ⁡ s e c θ + t g θ | π / 4 0

Substituindo o intervalo de integração:

= a 3 6 2 + ln ⁡ 2 + 1 = a 3 6 2 + ln ⁡ 2 + 1

Resposta

a 3 6 2 + ln ⁡ 2 + 1

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