Enunciado

Calcule:

int_0^(+ oo) e^(- s x) d x ( s > 0 )

Passo 1

Como estamos calculando uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

int_0^(+ oo) e^(- s x) d x = underset(A -> + oo)(lim) int_0^A e^(- s x) d x

Passo 2

Agora podemos calcular a integral tranquilamente, aplicando a substituição

{[[u ( x ) = - s x],[d u = - s d x => d x = (d u)/(- s)]])

Com os limites

{[[u (0) = - s * 0 = 0],[u (A) = - s * A = - s A]])

Temos então

underset(A -> + oo)(lim) int_0^A e^(- s x) d x = underset(A -> + oo)(lim) int_0^(- s A) e^u (d u)/(- s)

= underset(A -> + oo)(lim) [- (e^u)/(s)]_0^(- s A)

Passo 3

Substituindo os limites de integração temos

= underset(A -> + oo)(lim) [- (e^(- s A))/(s) + (e^0)/(s)] = underset(A -> + oo)(lim) [- (1)/(s e^(s A)) + (1)/(s)]

Com A -> + oo a sua exponencial e^(s A) -> + oo , logo a primeira fração vai para zero e temos que

underset(A -> + oo)(lim) [- (1)/(s e^(s A)) + (1)/(s)] = (1)/(s)

Resposta

(1)/(s)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a. ∫ 0 4 1 x 2 - 2 x - 3d x
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a. ∫ 0 2 1 x - 1 2 / 3d x
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a. ∫ - 4 1 1 z + 3 3d z
Nos exercícios de 1 a 25, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente , calcule-a.16. ∫ 0 2 d x 2 x - x 2
Nos exercícios de 1 a 25, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente , calcule-a.17. ∫ - 2 0 d w w + 1 1 3