Calcule:

∫ 0 + ∞ e - s x   d x   ( s > 0 )

Passo 1

Como estamos calculando uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

∫ 0 + ∞ e - s x   d x = lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A e - s x   d x  

Passo 2

Agora podemos calcular a integral tranquilamente, aplicando a substituição

u ( x ) = - s x d u = - s   d x ⇒ d x = d u - s

Com os limites

u 0 = - s ⋅ 0 = 0 u A = - s ⋅ A = - s A

Temos então

lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A e - s x   d x   = lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 - s A e u d u - s  

= lim A → + ∞ ⁡ - e u s 0 - s A

Passo 3

Substituindo os limites de integração temos

= lim A → + ∞ ⁡ - e - s A s + e 0 s = lim A → + ∞ ⁡ - 1 s e s A + 1 s

Com A → + ∞ a sua exponencial e s A → + ∞ , logo a primeira fração vai para zero e temos que

lim A → + ∞ ⁡ - 1 s e s A + 1 s = 1 s

Resposta

1 s

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