Enunciado

Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

∫ - 4 1 1 z + 3 3   d z

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a integral é convergente ou divergente. Neste caso, temos que o denominador se anula em z = - 3 , que é um ponto dentro do intervalo de integração. Assim, devemos quebrar a integral em duas:

∫ - 4 1 1 z + 3 3   d z = lim a → - 3 - ⁡ ∫ - 4 a 1 z + 3 3   d z + lim b → - 3 + ⁡ ∫ b 1 1 z + 3 3   d z

Para que integral seja convergente, esses dois limites devem existir e serem finitos!

Passo 2

A primitiva que vamos precisar é:

∫ 1 z + 3 3 d z = ∫ z + 3 - 3   d z = z + 3 - 2 ( - 2 ) = - 1 2 z + 3 2

Assim, temos que

∫ - 4 a 1 z + 3 3   d z = - 1 2 z + 3 2 - 4 a = - 1 2 1 a + 3 2 - 1

∫ b 1 1 z + 3 3   d z = - 1 2 z + 3 2 b 1 = - 1 2 1 16 - 1 b + 3 2

Passo 3

Agora vamos calcular os limites:

lim a → - 3 - ⁡ ∫ - 4 a 1 z + 3 3   d z = lim a → - 3 - ⁡ - 1 2 1 a + 3 2 - 1 = - ∞

Como esse limite já não é finito, nem precisamos calcular o outro: já podemos afirmar que a integral é divergente!

Resposta

Diverge.

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