Calcule:

∫ 0 + ∞ 1 s 2 + x 2   d x   ( s > 0 )

Passo 1

Como estamos calculando uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

∫ 0 + ∞ 1 s 2 + x 2   d x = lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A 1 s 2 + x 2   d x  

Passo 2

Agora podemos calcular a integral tranquilamente, colocando s 2 em evidencia no denominador

lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A 1 s 2 + x 2   d x   = lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A 1 s 2 1 + x 2 s 2   d x  

Aplicando agora a substituição

u = x s d u = 1 s   d x   ⇒ d x = s   d u

Esquecendo os limites por enquanto, temos

∫ 1 s 2 1 + x 2 s 2   d x = 1 s 2 ∫ s   d u 1 + u 2

= 1 s ∫ d u 1 + u 2

E essa integral é elementar

= 1 s arctg ⁡ u + C

Voltando à variável x

= 1 s arctg ⁡ x s + C

Voltando ao limite temos

lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A 1 s 2 1 + x 2 s 2   d x   = lim A → + ∞ ⁡ 1 s arctg ⁡ x s 0 A  

Passo 3

Substituindo os limites de integração temos

= lim A → + ∞ ⁡ 1 s arctg ⁡ A s - 1 s arctg ⁡ 0

Sabemos que arctg ⁡ 0 = 0 e que com A → + ∞ a fração A s → + ∞ e o limite

lim x → + ∞ ⁡ arctg ⁡ x = π 2

Então

lim A → + ∞ ⁡ 1 s arctg ⁡ A s - 1 s arctg ⁡ 0 = 1 s ⋅ π 2

= π 2 s

Resposta

π 2 s

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