Calcule:

∫ 0 + ∞ x 1 + x 4   d x

Passo 1

Como estamos calculando uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

∫ 0 + ∞ x 1 + x 4   d x = lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A x 1 + x 4   d x  

Passo 2

Agora podemos calcular a integral tranquilamente, aplicando a substituição

u ( x ) = x 2 d u = 2 x   d x   ⇒ x   d x = d u 2

Esquecendo os limites por enquanto, temos

∫ x 1 + x 4   d x = 1 2 ∫ d u 1 + u 2

E essa integral é elementar

= 1 2 arctg ⁡ u + C

Voltando à variável x

= 1 2 arctg ⁡ x 2 + C

Voltando ao limite temos

lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A x 1 + x 4   d x   = lim A → + ∞ ⁡ 1 2 arctg ⁡ x 2 0 A  

Passo 3

Substituindo os limites de integração temos

= lim A → + ∞ ⁡ 1 2 arctg ⁡ A 2 - 1 2 arctg ⁡ 0

Sabemos que arctg ⁡ 0 = 0 e que com A → + ∞ seu quadrado A 2 → + ∞ e o limite

lim x → + ∞ ⁡ arctg ⁡ x = π 2

Então

lim A → + ∞ ⁡ 1 2 arctg ⁡ A 2 - 1 2 arctg ⁡ 0 = 1 2 ⋅ π 2

= π 4

Resposta

π 4

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