Calcule:

∫ 0 + ∞ t e - t   d t

Passo 1

Como estamos calculando uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

∫ 0 + ∞ t e - t   d t = lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A t e - t   d t  

Passo 2

Agora podemos calcular a integral tranquilamente, utilizando a integração por partes

∫ f ⋅ g '   d t = f ⋅ g - ∫ f ' ⋅ g   d t

Neste caso nossas funções são

f = t g ' = e - t   →   f ' = 1 g = - e - t

Então

∫ t e - t   d t = - t e - t - ∫ - e - t   d t

= - t e - t + ∫ e - t   d t = - t e - t - e - t + C

Voltando ao limite

lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A t e - t   d t   = lim A → + ∞ ⁡ - t e - t - e - t 0 A  

= lim A → + ∞ ⁡ - t e t - 1 e t 0 A  

Passo 3

Substituindo os limites de integração temos

lim A → + ∞ ⁡ - t e t - 1 e t 0 A   = lim A → + ∞ ⁡ - A e A - 1 e A + 0 e 0 + 1 e 0  

= lim A → + ∞ ⁡ - A e A - 1 e A + 1  

Utilizando a propriedade do limite para dividir em uma soma de limites temos

= - lim A → + ∞ ⁡ A e A   - lim A → + ∞ ⁡ 1 e A + 1

Para o segundo limite, não precisamos de muita análise, ele vai para zero, mas para calcular o primeiro, vamos usar L’Hospital, então focando somente nesse limite

lim A → + ∞ ⁡ A e A   = lim A → + ∞ ⁡ 1 e A   = 0

Então temos que

lim A → + ∞ ⁡ - A e A - 1 e A + 1   = 1

Resposta

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