Calcule:

∫ 0 - ∞ x e - x 2   d x

Passo 1

Como estamos calculando uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

∫ 0 - ∞ x e - x 2   d x = lim A → - ∞ ⁡ ∫ 0 A x e - x 2   d x  

Passo 2

Agora podemos calcular a integral tranquilamente, aplicando a substituição

u ( x ) = x 2 d u = 2 x   d x ⇒ x   d x = d u 2

Com os limites

u 0 = 0 u A = A 2

Temos então

lim A → - ∞ ⁡ ∫ 0 A x e - x 2   d x   = lim A → - ∞ ⁡ ∫ 0 A 2 e - u d u 2

= lim A → - ∞ ⁡ - e - u 2 0 A 2 = lim A → - ∞ ⁡ - 1 2 e u 0 A 2

Passo 3

Substituindo os limites de integração temos

= lim A → - ∞ ⁡ - 1 2 e A 2 + 1 2 e 0 = lim A → - ∞ ⁡ - 1 2 e A 2 + 1 2

Com A → - ∞ ao quadrado A 2 → + ∞ e a sua exponencial e A 2 → + ∞ , logo a primeira fração vai para zero e temos que

lim A → - ∞ ⁡ - 1 2 e A 2 + 1 2 = 1 2

Resposta

1 2

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