Calcule aproximadamente raiz(0,01^2 + 3,02^2 + 3,9^2) .

Passo 1

Vamos definir uma função

w = x 2 + y 2 + z 2

E então podemos aproximar 0,01 2 + 3,02 2 + 3,9 2 pela diferencial em x = 0 , y = 3 e z = 4 variando até x = 0 , 01 ,   y = 3 , 02 e z = 3,9 .

Encontrando o diferencial

d w = ∂ f ∂ x x , y , z   d x + ∂ f ∂ y x , y , z   d y + ∂ f ∂ z x , y , z   d z

Calculando as derivadas

∂ f ∂ x x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2

∂ f ∂ y x , y , z = y x 2 + y 2 + z 2

∂ f ∂ z x , y , z = z x 2 + y 2 + z 2

Substituindo da fórmula

d w = x x 2 + y 2 + z 2   d x + y x 2 + y 2 + z 2   d y + z x 2 + y 2 + z 2   d z

Passo 2

Quando   x = 0 ,   y = 3   e   z = 4 , a função

w = 0 2 + 3 2 + 4 2

w = 9 + 16 = 25

w = 5

E a diferencial

d w = 0 5   d x + 3 5   d y + 4 5   d z

d w = 3 5   d y + 4 5   d z

Então vamos aproximar Δ w pela diferencial com d x = 0,01 , d y = 0 , 02 e d z = - 0,1

Δ w ≈ 3 5 ( 0,02 ) + 4 5 - 0,1

Δ w ≈ - 0,068

E temos

0,01 2 + 3,02 2 + 3,9 2 ≈ w + Δ w

0,01 2 + 3,02 2 + 3,9 2 ≈ 5 - 0,068

0,01 2 + 3,02 2 + 3,9 2 ≈ 4,932

Resposta

0,01 2 + 3,02 2 + 3,9 2 ≈ 4,932

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