Calcule:

∫ - ∞ + ∞ e - x   d x

Passo 1

A função módulo é definida por

x = x - x   s e   x ≥ 0 s e   x < 0

Então podemos reescrever a integral, como a soma de 2 integrais

∫ - ∞ + ∞ e - x   d x = ∫ - ∞ 0 e x   d x + ∫ 0 + ∞ e - x   d x

E ainda mais, se olharmos essa função graficamente

Podemos perceber a simetria da função, então é verdadeiro afirmar que

∫ - ∞ 0 e x   d x = ∫ 0 + ∞ e - x   d x

Logo

∫ - ∞ + ∞ e - x   d x = 2 ∫ 0 + ∞ e - x   d x

Passo 2

Vamos então calcular a integral

∫ 0 + ∞ e - x   d x

Como se trata de uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

∫ 0 + ∞ e - x   d x = lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A e - x   d x

Agora podemos calcular a integral tranquilamente

lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A e - x   d x   = lim A → + ∞ ⁡ - e - x 0 A  

= lim A → + ∞ ⁡ - 1 e x 0 A  

Passo 3

Substituindo os limites de integração temos

= lim A → + ∞ ⁡ - 1 e A + 1 e 0 = lim A → + ∞ ⁡ - 1 e A + 1

Com A → + ∞ a sua exponencial e A → + ∞ , logo a primeira fração vai para zero e temos que

lim A → + ∞ ⁡ - 1 e A + 1 = 1

Substituindo na primeira integral de nosso interesse

∫ - ∞ + ∞ e - x   d x = 2 ∫ 0 + ∞ e - x   d x

∫ - ∞ + ∞ e - x   d x = 2 ⋅ 1 = 2

Resposta

2

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