Enunciado

Calcule:

int_(- oo)^(+ oo) e^(- |x|) d x

Passo 1

A função módulo é definida por

|x| = {[[x],[- x]] (s e x >= 0)/(s e x < 0))

Então podemos reescrever a integral, como a soma de 2 integrais

int_(- oo)^(+ oo) e^(- |x|) d x = int_(- oo)^0 e^x d x + int_0^(+ oo) e^(- x) d x

E ainda mais, se olharmos essa função graficamente

Podemos perceber a simetria da função, então é verdadeiro afirmar que

int_(- oo)^0 e^x d x = int_0^(+ oo) e^(- x) d x

Logo

int_(- oo)^(+ oo) e^(- |x|) d x = 2 int_0^(+ oo) e^(- x) d x

Passo 2

Vamos então calcular a integral

int_0^(+ oo) e^(- x) d x

Como se trata de uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

int_0^(+ oo) e^(- x) d x = underset(A -> + oo)(lim) int_0^A e^(- x) d x

Agora podemos calcular a integral tranquilamente

underset(A -> + oo)(lim) int_0^A e^(- x) d x = underset(A -> + oo)(lim) [- e^(- x)]_0^A

= underset(A -> + oo)(lim) [- (1)/(e^x)]_0^A

Passo 3

Substituindo os limites de integração temos

= underset(A -> + oo)(lim) [- (1)/(e^A) + (1)/(e^0)] = underset(A -> + oo)(lim) [- (1)/(e^A) + 1]

Com A -> + oo a sua exponencial e^A -> + oo , logo a primeira fração vai para zero e temos que

underset(A -> + oo)(lim) [- (1)/(e^A) + 1] = 1

Substituindo na primeira integral de nosso interesse

int_(- oo)^(+ oo) e^(- |x|) d x = 2 int_0^(+ oo) e^(- x) d x

int_(- oo)^(+ oo) e^(- |x|) d x = 2 * 1 = 2

Resposta

2

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Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
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