Enunciado

Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência.

∫ 1 ∞ x + 1   x 2   d x

Passo 1

Vamos resolver essa pelo método da comparação do limite.

O método diz que se temos duas funções f ( x ) e g ( x ) e o limite da função f x g ( x ) for um número finito, então as funções f ( x ) e g ( x ) se comportam da mesma maneira, ou seja, ambas convergem ou ambas divergem (usamos o limite tendendo ao valor do extremo superior).

Parece complicado, mas na prática é bem simples. Veja só...

Passo 2

Seja f x =   x + 1   x 2     (a função da integral) e g x = x x 2 (veja que pegamos uma parecida, porém mais simples, nossa intenção é tentar cortar alguma coisa no limite) .

Então, iremos calcular:

lim x → ∞ ⁡ f x g x = l i m x → ∞   x + 1   x 2   x x 2 = l i m x → ∞ x + 1 x = l i m x → ∞ x 1 + 1 x x =   l i m x → ∞ x 1 + 1 x x =   l i m x → ∞ 1 + 1 x = 1 + 0 = 1

Como o limite deu finito, as duas funções se comportam da mesma maneira.

Passo 3

Vejamos a função g x :

∫ 1 ∞ x x 2 d x =     ∫ 1 ∞ 1 x 3 2 d x  

Bom, sempre que temos uma integral do tipo ∫ a ∞ 1 x p   d x se p > 1 a integral converge, e se     p ≤ 1 , a integral diverge.

Então, g x converge né?! 3 2 > 1 … Logo f x também converge.

∫ 1 ∞ x + 1   x 2   d x converge.

Resposta

∫ 1 ∞ x + 1   x 2   d x converge.

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