Enunciado

Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência.

∫ 2 ∞ d x ln ⁡ x  

Passo 1

Vamos resolver essa pelo método da comparação direta. O método diz que se temos duas funções f ( x ) e g ( x ) , e 0 ≤ f x ≤ g ( x ) , se a maior converge, a menor também converge, e se a menor diverge a maior também diverge.

Vamos escolher funções adequadas para fazer o comparativo então...

Passo 2

Seja f x = 1 ln ⁡ x     (a função que queremos) e g x = 1 x . Observe que para x > 2 , temos:

0 < 1 x < 1 l n x

Vamos testar na função menor, a g x :

∫ 2 ∞ 1 x   d x

Bom, sempre que temos uma integral do tipo ∫ a ∞ 1 x p   d x se p > 1 a integral converge, e se     p ≤ 1 , a integral diverge.

Então... g ( x ) diverge né?! Com isso, temos que a f ( x ) também diverge.

∫ 2 ∞ d x ln ⁡ x   diverge.

Resposta

∫ 2 ∞ d x ln ⁡ x   diverge.

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