Enunciado

Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência.

∫ 2 ∞ x   d x x 4 - 1

Passo 1

Vamos resolver essa pelo método da comparação do limite.

O método diz que se temos duas funções f ( x ) e g ( x ) e o limite da função f x g ( x ) for um número finito, então as funções f ( x ) e g ( x ) se comportam da mesma maneira, ou seja, ambas convergem ou ambas divergem (usamos o limite tendendo ao valor do extremo superior).

Parece complicado, mas na prática é bem simples. Veja só...

Passo 2

Seja f x =   x   x 4 - 1   (a função da integral) e g x = x x 4 = x x 2 = 1 x .

Então, iremos calcular:

lim x → ∞ ⁡ f x g x = l i m x → ∞   x   x 4 - 1 1 x = l i m x → ∞ x 2 x 4 - 1 = l i m x → ∞ x 2 x 4 1 - 1 x 4 = l i m x → ∞ x 2 x 2 1 - 1 x 4 =   l i m x → ∞   1 1 - 1 x 4 = 1 1 - 0 = 1

Como o limite deu finito, as duas funções se comportam da mesma maneira.

Passo 3

Vejamos a função g x :

∫ 2 ∞ 1 x d x  

Bom, sempre que temos uma integral do tipo ∫ a ∞ 1 x p   d x se p > 1 a integral converge, e se     p ≤ 1 , a integral diverge.

Então, g x diverge não é?! Logo f x também diverge.

∫ 2 ∞ x   d x x 4 - 1 diverge.

Resposta

∫ 2 ∞ x   d x x 4 - 1 diverge.

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