Enunciado

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11. Determine uma curva que passa pelo ponto ( 0,2 ) e que goza da propriedade: a reta tangente no ponto ( x , y ) encontra o eixo x no ponto A , de abscissa > 0 , de tal modo que a distância de ( x , y ) a A é sempre 2

Passo 1

Pra começar ele nos disse que a distância do ponto ( x , y ) ao ponto A é constante e igual a 2 . Como o ponto A é a interseção com o eixo x podemos escrever ele da seguinte forma:

A = a , 0

Agora vamos calcular a distância ao ponto x , y .

d 2 = x - a 2 + y - 0 2

Isolando o termo a e usar que d = 2 :

2 2 - y 2 = x - a 2

Assim,

x - a = ± 4 - y 2

Portanto,

a = x ± 4 - y 2     ( i )

Passo 2

Agora vamos escrever a equação da reta tangente a curva no ponto ( x , y ) . Já sabemos que o coeficiente angular é a derivada no ponto. Logo,

m r = d y d x

Então a reta fica o seguinte sabendo que o ponto A ( a , 0 ) pertence a reta.

y - 0 = m r ( x - a )

Assim,

y = d y d x x - a

De ( i ) :

y = d y d x ± 4 - y 2

Como queremos saber apenas uma curva que atende a condição do enunciado, vamos pegar o sinal +

Passo 3

Então vamos integrar!

y = 4 - y 2 d y d x

Logo,

d x = 4 - y 2 y d y

Integrando:

∫ d x = ∫ 4 - y 2 y d y

Logo,

x + k = ∫ 4 - y 2 y d y     ( i i )

Agora vamos fazer a seguinte integral:

I = ∫ 4 - y 2 y d y

Essa é bem chatinha, mas vem comigo. Vamos fazer a seguinte substituição:

y = 2 s e n θ

Derivando,

d y = 2 cos ⁡ θ d θ

Assim,

I = ∫ 4 - 4 s e n 2 θ 2 s e n θ 2 cos ⁡ θ d θ

Como s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 :

I = ∫ 2 cos ⁡ θ 2 s e n θ 2 cos ⁡ θ d θ

Logo,

I = 2 ∫ cos 2 θ sen θ dθ ⁡  

Usando que cos 2 ⁡ θ = 1 - s e n 2 θ

I = 2 ∫ 1 - s e n 2 θ s e n θ d θ

Separando em dois termos:

I = 2 ∫ csc ⁡ θ d θ - 2 ∫ s e n θ d θ

Não esquece: ∫ csc ⁡ x d x = - l n | c s c x + c o t g ( x ) | + c

Não esquece: ∫ s e n x   d x = - c o s ⁡ ( x ) + c

Passo 4

Resolvendo a integra:

I = 2 - ln ⁡ c s c θ + c o t g θ + c 1 - 2 cos ⁡ θ + c 2

Arrumando as coisas:

I = - 2 ln ⁡ c s c θ + c o t g θ - 2 cos ⁡ θ + c

Voltando para variável y :

I = - 2 ln ⁡ 2 y + 1 - y 2 y - 2 1 - x 2 + c

Agora é só voltar para equação ( i i ) :

x = - 2 ln ⁡ 2 y + 4 - x 2 y - 4 - y 2 + K

Usando que o ponto ( 0,2 ) pertence a curva:

0 = - 2 ln ⁡ 2 2 + 4 - 2 2 2 - 4 - 2 2 + K

Então,

K = 0

Portanto,

x = - 2 ln ⁡ 2 y + 4 - x 2 y - 4 - y 2

Resposta

x = - 2 ln ⁡ 2 y + 4 - x 2 y - 4 - y 2

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