Enunciado

Seja f (x , y) = x^2 - y^2 . Represente geometricamente grad f (x_0 , y_0) , sendo

(x_0 , y_0) = (- 1 , - 1)

Passo 1

O gradiente de f é definido como

grad f (x , y) = (f_x (x , y) , f_y (x , y))

Calculando as derivadas

f_x (x , y) = 2 x

f_y (x , y) = - 2 y

Então o gradiente é dado por

grad f (x , y) = (2 x , - 2 y)

No ponto (- 1 , - 1)

grad f (x , y) = (- 2,2)

Passo 2

Representando no plano o vetor (- 2,2) saindo do ponto (- 1 , - 1) :

Resposta

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9. Sejam f x , y = y - x 2eγ t = ( s e n t ,s e n 2 t ) . a) Verifique que a imagem de γ está contida na curva de nível y - x 2 = 0 . b) Desenhe a imagem de γ . c) Verifique que para todo t, γ ' t ⋅ ∇
Determine o gradiente da função f (x , y , z) = x^2 e^(y z^2) .
Considere a função f x , y , z = x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 e seja γ t = x t ,y t ,z t uma curva diferenciável qualquer, com imagem contida na superfície de nível x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 1 , e tal que γ t 0 =
21-26. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.26. f p ,q ,r = a r c tan ⁡ p q r ,1 ,2 ,1
14.47. Se f x , y = x 2 + 4 y 2 , determine o vetor gradiente ∇ f 2,1 e use-o para determinar a reta tangente à curva de nível da função f x , y = 8 no ponto 2,1 . Esboce as curvas de nível, reta tang