Enunciado

Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x.

y = x 3 , 0 ≤ x ≤ 2

Passo 1

A questão pede para calcularmos a área da superfície de revolução obtida pela rotação da curva dada com relação ao eixo x. Assim, usaremos a expressão para área de superfície do tipo

A = ∫ a b 2 π   y   d s   ,

onde d s é dado por

d s = 1 + d y d x 2   d x

Assim, para esse caso,

d y d x = 3 x 2 ⇒ d s = 1 + ( 3 x 2 ) 2   d x   = 1 + 9 x 4   d x

Desta forma, a área será dada por

A = 2 π   ∫ 0 2 x 3 1 + 9 x 4   d x

Passo 2

Para calcularmos essa integral, note que se fizermos u = 1 + 9 x 4 , temos que d u = 36 x 3   d x . Assim, x 3   d x   =   d u / 36 . Para os limites de integração, quando x = 0 , u = 1 e quando x = 2 , temos que u = 1 + 9 ⋅ 16 = 145 . Assim,

A = 2 π 36 ∫ 1 145 u   d u   =   π 18   u 3 2 3 2 1 145 = π 18 ⋅ 2 3   ( 14 5 3 / 2 - 1 3 / 2 )

Desta forma,

A = π 27   ( 14 5 3 / 2 - 1 )

Resposta

A = π 27   ( 14 5 3 / 2 - 1 )

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