Calcule a integral indefinida.

∫ 1 + tg ⁡ θ 5 sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular a integral dada por

∫ 1 + tg ⁡ θ 5 sec 2 ⁡ θ d θ

Parece complicado?

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição

∫ f x d x → ∫ f u d u

Então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos tg ⁡ θ e sec 2 ⁡ θ , podemos então usar a mudança de variável:

u = 1 + tg ⁡ θ

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 0 + sec 2 ⁡ θ   d θ = sec 2 ⁡ θ   d θ

Vamos agora fazer a substuição:

∫ 1 + tg ⁡ θ 5 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ u 5 d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ u 5 d u = u 5 + 1 5 + 1 = u 6 6 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo.

∫ 1 + tg ⁡ θ 5 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ u 5 d u = u 6 6 + C

Se u = 1 + tg ⁡ θ , então

∫ 1 + tg ⁡ θ 5 sec 2 ⁡ θ d θ = 1 + tg ⁡ θ 6 6 + C

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 🫡

Resposta

∫ 1 + tg ⁡ θ 5 sec 2 ⁡ θ d θ = 1 + tg ⁡ θ 6 6 + C

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