Enunciado

Seja S a área da superfície gerada quando a curva x   =   x ( t ) ,     y   =   y ( t )   ( a   ≤   t   ≤   b ) gira em torno do eixo y . Explique como S pode ser aproximada por

S ≈ ∑ k = 1 n π x t k - 1 + x t k × x t k - x t k - 1 2 + y t k - y t k - 1 2

Usando resultados do Cálculo avançado, pode ser mostrado que, quando Δ t k → 0 , essa soma converge a

S = ∫ 2 π x t x ' t 2 + y ' t 2 d t

Passo 1

Cara, a ideia aqui é seguir o mesmo raciocínio da teoria, para chegar nessas fórmulas. A única diferença é que agora x e y são funções de um parâmetro t .

Vamos começar dividindo o intervalo [ a , b ] em subintervalos entre os pontos:

a = t 0 < t 1 < … < t n - 1 < t n = b

Dentro desses intervalos menores, vamos considerar a nossa função como uma reta. Logo, temos um caminho poligonal que aproxima a curva.

Quando essa curva gira em torno de y , temos uma superfície compostas por vários troncos de cone. A área da superfície total vai ser a soma das áreas desses troncos.

Passo 2

A área de um tronco é dada pela fórmula:

S = π r 1 + r 2 l

Para o nosso k-ésimo tronco de cone, os raios das bases vão ser as distâncias dos pontos dos extremos do intervalo até o eixo y :

r 1 = x t k ,     r 2 = x ( t k - 1 )

E a altura inclinada l é igual ao comprimento da reta que liga os pontos x t k , y t k e x t k - 1 , y t k - 1 , ou seja, a distância entre eles:

l = x t k - x t k - 1 2 + y t k - y t k - 1 2

A área do k-ésimo tronco de cone fica:

S k = π x t k + x t k - 1 × x t k - x t k - 1 2 + y t k - y t k - 1 2

Somando para todos os troncos de cone, a área total é aproximadamente:

S ≈ ∑ k = 1 n π x t k - 1 + x t k × x t k - x t k - 1 2 + y t k - y t k - 1 2

Passo 3

Para transformar isso numa soma de Riemann vamos usar o Teorema do Valor Intermediário:

y t k - y t k - 1 t k - t k - 1 = y ' t k * ∴ y t k - y t k - 1 = y ' t k *   t k - t k - 1

x t k - x t k - 1 t k - t k - 1 = x ' t k * ∴ x t k - x t k - 1 = x ' t k *   t k - t k - 1

Aí podemos reescrever a soma:

S ≈ ∑ k = 1 n π x t k - 1 + x t k × x ' t k *   t k - t k - 1 2 + y ' t k *   t k - t k - 1 2

S ≈ ∑ k = 1 n π x t k - 1 + x t k × x ' t k * 2 + y ' t k *   2 × t k - t k - 1

S ≈ ∑ k = 1 n π x t k - 1 + x t k × x ' t k * 2 + y ' t k *   2     Δ t k

Passo 4

Para transformar numa soma de Riemann, precisamos colocar tudo numa variável só. Vamos usar o ponto médio, onde:

x t k * * = 1 2 x t k - 1 + x t k

Substituindo na soma:

S ≈ ∑ k = 1 n 2 π x ( t k * * ) × x ' t k * 2 + y ' t k *   2     Δ t k

E pelo Cálculo avançado, podemos considerar que as variáveis t k * = t k * * . Logo, temos apenas uma variável e podemos calcular o limite Δ t k → 0 como uma soma de Riemann:

S = ∫ 2 π x t x ' t 2 + y ' t 2 d t

Resposta

Prova nos passos

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