Enunciado

Calcule, caso exista.

underset((x , y) -> (0,0))(lim) x s e n ((1)/(x^2 + y^2))

Passo 1

Desde quando estudamos limites em uma variável e nos deparamos com a função s e n x , sempre tem uma pulguinha que fica picando na orelha e dizendo Teorema do confronto, teorema d confronto, ... Bora ouvir a pulguinha?

Sabemos que, em geral,

- 1 <= s e n (u) <= 1

Em particular,

- 1 <= s e n ((1)/(x^2 + y^2)) <= 1

Multiplicando po x ,

- x <= x s e n ((1)/(x^2 + y^2)) <= x

Como o limite preserva ordem,

underset((x , y) -> (0,0))(lim) - x <= underset((x , y) -> (0,0))(lim) x s e n ((1)/(x^2 + y^2)) <= underset((x , y) -> (0,0))(l i m) x

Aplicando limite,

0 <= underset((x , y) -> (0,0))(lim) x s e n ((1)/(x^2 + y^2)) <= 0

Pelo teorema do confronto,

underset((x , y) -> (0,0))(lim) x s e n ((1)/(x^2 + y^2)) = 0

Resposta

underset((x , y) -> (0,0))(lim) x s e n ((1)/(x^2 + y^2)) = 0

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