Calcule, caso exista.

lim x , y → 0,0 ⁡ x s e n 1 x 2 + y 2  

Passo 1

Desde quando estudamos limites em uma variável e nos deparamos com a função s e n x , sempre tem uma pulguinha que fica picando na orelha e dizendo Teorema do confronto, teorema d confronto, ... Bora ouvir a pulguinha?

Sabemos que, em geral,

- 1 ≤ s e n u ≤ 1  

Em particular,

- 1 ≤ s e n 1 x 2 + y 2 ≤ 1

Multiplicando po x ,

- x ≤ x s e n 1 x 2 + y 2 ≤ x

Como o limite preserva ordem,

lim x , y → 0,0 ⁡ - x   ≤   lim x , y → 0,0 ⁡ x s e n 1 x 2 + y 2   ≤   l i m x , y → 0,0 x

Aplicando limite,

0 ≤   lim x , y → 0,0 ⁡ x s e n 1 x 2 + y 2   ≤ 0  

Pelo teorema do confronto,

lim x , y → 0,0 ⁡ x s e n 1 x 2 + y 2   = 0  

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ x s e n 1 x 2 + y 2   = 0

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