Encontre o limite.

lim x → 0 ⁡ x - a r c t g   x x 3  

Passo 1

Se substituirmos o valor na função, observa que encontramos 0 0 ,   certo? Então bora aplicar L’Hopital. Até agora, temos:

lim x → 0 ⁡ x - a r c t g   x x 3  

Derivando ficamos com:

lim x → 0 ⁡ 1 - 1 1 + x 2 3 x 2

Ainda estamos com 0 0 , logo, aplicamos l’hopital novamente.

lim x → 0 ⁡ 2 x 1 + x 2 2 6 x

O que ainda nos da zero sobre zero. Aplicando mais uma vez…

lim x → 0 ⁡ 2 1 + x 2 2 - 8 x 2 1 + x 2 3 6

Passo 2

Maravilha! Disso que a gente encontrou o limite ja sai. Ficamos com:

2 1 - 0 1 6 = 1 3

Resposta

1 3

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